Kun tutkimme polyhedraa, kohtaamme Platonin kiinteät aineet erityistapauksena. Jotta polyhedron olisi Platon-kiinteä aine, sen on täytettävä kolme ehtoa:
olla kupera;
kaikilla pinnoilla on sama määrä reunoja;
kaikki kärjet ovat saman määrän reunojen päitä.
Useat filosofit pyrkivät ymmärtämään maailmankaikkeuden alkuperää, ja Platon näki sen spatiaalinen geometria selitys tälle alkuperälle. Platonin kiinteät aineet ovat:
tetraedri;
heksahedroni;
oktaedri;
dodekaedri;
ikosaedri.
Niitä kaikkia pidetään säännöllisinä monikulmioina reunat ja niiden kasvot ovat yhtenevät. Platonin kiinteät aineet kunnioittavat Eulerin suhde, jossa luetellaan pisteiden, pintojen ja reunojen määrä kaavalla V + F = A + 2.
Lue myös: Mitä eroja on litteillä ja paikkahahmoilla?
säännöllinen polyhedra
Tavallisen polyhedran haku on toistuva, koska heidän kanssaan on helpompaa työskennellä. Monikulmio luokitellaan säännölliseksi, jos se on kaikki kasvot sama monikulmio yhtenevä. Kun näin tapahtuu, kulmat ja reunat ovat myös yhtenevät.
Platonin kiinteät aineet ovat säännöllisen polyhedran erityisiä tapauksia. Esimerkiksi kuutio, joka on Platonin kiinteä aine, on kaikki kasvot muodostaneet yhtenevät neliöt. Platonin viidestä kiinteästä aineesta, kolme muodostuu kolmiomaisista kasvoista, joissa on yhtenevät kolmiot, toisen muodostavat neliön muotoiset ja toisen viisikulmaiset kasvot.
Mitkä ovat Platonin kiinteät aineet?
Platon oli kreikkalainen filosofi ja matemaatikko. Hän antoi suuren panoksen matematiikkaan ja yrittäessään ymmärtää maailmankaikkeutta, liittyvät kiinteät aineet luonnon elementteihin.
Jotta polyhedron olisi platoninen kiinteä aine, sen on oltava säännöllinen ja kupera. Kiinteitä aineita, jotka täyttävät tämän määritelmän, on vain viisi. Ne ovat: tetraedri, kuutio tai heksahedroni, oktaedri, ikosaedri ja dodekaedri.
Luonnon elementin ja kiinteän suhteen suhde oli:
tetraedri - antaa potkut
heksahedroni - Maa
oktaedri - ilmaa
ikosaedri - Vesi
dodekaedri - Cosmo tai maailmankaikkeus
Ollakseen Platonin kiinteä, O polyhedron myös on oltava kupera, kaikilla pinnoilla on oltava sama määrä reunoja ja kaikkien pisteiden on oltava saman määrän reunojen päät.
Katso myös: Mukulakivet - geometriset kiinteät aineet, jotka muodostuvat tasaisista ja monikulmaisista pinnoista
säännöllinen tetraedri
Tavallinen tetraedri on monikulmio on 4 kasvot, mikä oikeuttaa sen nimen (tetra = neljä). kaikki kasvosi ovat muodostuu kolmioista. Se on muotoinen kuin pyramidi kolmiomaisen pohjan ja tunnetaan säännöllisen pohjan pyramidina, koska kaikki sen pinnat ovat yhtenevät. Siinä on yhteensä 4 kasvot (muodossa tasasivuinen kolmio), 4 kärkeä ja 6 reunaa.
Jos haluat rakentaa oman tavallisen tetraedrin, lataa ja tulosta PDF-tiedosto täällä.
Tavallinen kuutio tai heksahedroni
säännöllinen heksahedroni on 6 kasvot, joka oikeuttaa sen nimen (kuusi = kuusi). kasvosi ovat kaikki neliö-. Se tunnetaan myös kuutiona ja siinä on 6 pintaa, 12 reunaa ja 8 kärkeä.
Jos haluat rakentaa oman kuution, lataa ja tulosta PDF täällä.
Oktaedri
Aikaisempien tapaan nimi liittyy kasvojen lukumäärään, joten oktaedri on 8 kasvot. Nämä kasvot ovat tasasivuinen kolmion muoto. Oktaedrilla on 8 pintaa, 12 reunaa ja 6 kärkeä.
Jos haluat rakentaa oman oktaedrin, lataa ja tulosta PDF täällä.
ikosaedri
Ikoahedronilla on yhteensä 20 kasvot. Heidän kasvonsa ovat muodoltaan tasasivuiset kolmiot, aivan kuten oktaedri. Siinä on yhteensä 20 pintaa, 30 reunaa ja 12 kärkeä.
Jos haluat rakentaa oman ikosaedrin, lataa ja tulosta PDF täällä.
Dodecahedron
Dodekaedri on viimeinen Platonin kiintoaine. Siinä on yhteensä 12 kasvoa ja sitä pidetään harmonisempi viiden platonisen kiinteän aineen joukossa. Heidän kasvonsa ovat viisikulmion muotoisia. Siinä on 12 kasvoa, 30 reunaa ja 20 kärkeä.
Jos haluat rakentaa oman dodekaedrisi, lataa ja tulosta PDF täällä.
Pääsy myös: Sylinteri - geometrinen kiinteä aine, joka muodostuu kahdesta yhdensuuntaisesta pyöreästä pinnasta ja eri tasoissa
Eulerin kaava
Eulerin polyhedra on kupera polyhedra. Euler kehitti kaavan, joka liittää kasvojen lukumäärän (F), pisteiden lukumäärän (V) ja reunojen määrän (A) kuperassa monikulmiossa. Kaikki Platonin kiinteät aineet täyttävät Euler-suhteen.
V + F = A + 2 |
Analysoimalla kaava, sitten on mahdollista laskea pisteiden lukumäärä pintojen ja reunojen lukumäärästä tai pintojen määrä pisteiden ja reunojen lukumäärästä, tietäen kaksi sen elementtiä, on aina mahdollista löytää kolmas.
Esimerkki:
Kuinka monta kasvoa sillä on, kun tiedetään, että polykedrillä on 8 kärkeä ja 12 reunaa ja että se on säännöllinen?
Tiedämme, että V + F = A + 2
V = 8
A = 12
8 + F = 12 + 2
8 + F = 14
F = 14-8
F = 6
ratkaisi harjoituksia
Kysymys 1 - (Enem 2016) Platonin kiinteät aineet ovat kuperia polyhedraa, joiden kasvot ovat kaikki yhtenevät yhteen polygoniin säännöllisesti, kaikilla kärjillä on sama määrä tulevia reunoja ja kukin reuna on jaettu vain kahdella. kasvot. Ne ovat tärkeitä esimerkiksi mineraalikiteiden muotojen luokittelussa ja erilaisten esineiden kehittämisessä. Kuten kaikki kuperat polyhedrot, Platonin kiinteät aineet kunnioittavat Eulerin suhdetta V - A + F = 2, missä V, A ja F ovat vastaavasti polyhedrin pisteiden, reunojen ja pintojen lukumäärä.
Minkälainen suhde kiteessä on kolmionmuotoisen Platonin polyhedronin muotoinen pisteiden määrän ja kasvojen lukumäärän välillä?
A) 2V - 4F = 4
B) 2V - 2F = 4
C) 2 V - F = 4
D) 2V + F = 4
E) 2V + 5F = 4
Resoluutio
Vaihtoehto C. Koska kasvot ovat kolmiomaisia, tiedämme, että jokaiselle kasvolle on 3 reunaa. Reunojen ja pintojen lukumäärän suhteuttamiseksi on kuitenkin tärkeää muistaa, että jokainen reuna sisältyy kahdella puolella, koska kahden kasvon kohtaaminen muodostaa reunan, joten voimme tässä tapauksessa liittää reunat kasvoihin per:
Kun Euler-suhde on V - A + F = 2 ja korvaa A, meidän on:
Kysymys 2 - Päätä alla olevista vaihtoehdoista, mikä ei ole Platonin kiinteä.
A) Kuutio
B) Tavallinen tetraedri
C) Ikosahedroni
D) Dodekaederi
E) Kartio
Resoluutio:
Vaihtoehto E. Vaihtoehdoista ainoa, joka ei vastaa Platonin kiinteää ainetta, on kartio.
Kirjailija: Raul Rodrigues de Oliveira
Matematiikan opettaja
Lähde: Brasilian koulu - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/os-solidos-platao.htm