Yhtälöjärjestelmä: kuinka laskea, menetelmät, harjoitukset - Brasilian koulu

Katsomme a yhtälöjärjestelmä kun aiomme ratkaista ongelmia, joihin liittyy numeerisia määriä ja joita yleensä käytämme yhtälöt edustamaan tällaisia ​​tilanteita. Useimmissa todellisissa ongelmissa meidän tulisi harkita useampaa kuin yhtä yhtälö samanaikaisesti, mikä riippuu siis järjestelmien suunnittelusta.

Ongelmat, kuten liikenteen muotoilu, voidaan ratkaista lineaarisilla järjestelmillä. meidän on ymmärrettävä lineaarisen järjestelmän elementit, mitä menetelmiä käytetään ja miten sen määrittäminen ratkaisu.

Yhtälöjärjestelmät ovat järjestelmiä, jotka toimivat useamman kuin yhden numeerisen määrän kanssa.

Yhtälöt

Tutkimuksemme tulee olemaan lineaaristen yhtälöjärjestelmien ympärillä, joten ymmärretään ensin, mitä a lineaarinen yhtälö.

Yhtälöä kutsutaan lineaariseksi, kun se voidaan kirjoittaa seuraavasti:

₁ · X₁ +₂ · X₂ +₃ · X₃ +... + -_ei · X_ei = k

Missä (_{1, 2, 3,..., ei}) ne ovat kertoimet yhtälön, (x_1, x_2, x_3,..., x_ei) ovat incognitos ja sen on oltava lineaarinen ja k on termiriippumaton.

• Esimerkkejä

• -2x + 1 = -8 ® Lineaarinen yhtälö yhdellä tuntemattomalla
• 5p + 2r = 5 ® Lineaarinen yhtälö kahdella tuntemattomalla
• 9x - y - z = 0 ® Lineaarinen yhtälö kolmella tuntemattomalla
• 8ab + c - d = -9 ® Epälineaarinen yhtälö

Tietää enemmän: Funktion ja yhtälön erot

Kuinka lasketaan yhtälöjärjestelmä?

Lineaarisen järjestelmän ratkaisu on jokainen järjestetty ja äärellinen joukko täyttää kaikki järjestelmän yhtälöt samanaikaisesti.. Ratkaisusarjan elementtien lukumäärä on aina yhtä suuri kuin tuntemattomien lukumäärä järjestelmässä.

• Esimerkki

Harkitse järjestelmää:

Tilattu pari (6; -2) täyttää molemmat yhtälöt, joten se on järjestelmän ratkaisu. Järjestelmän ratkaisujen muodostamaa joukkoa kutsutaan ratkaisusarja. Yllä olevasta esimerkistä meillä on:

S = {(6; -2)}

Aaltosulkeilla ja sulkeilla kirjoitustapa osoittaa ratkaisujoukon (aina aaltosulkeiden välissä), jonka muodostaa järjestetty pari (aina sulkeiden välillä).

Havainto: Jos kahdella tai useammalla järjestelmällä on sama ratkaisu, näitä järjestelmiä kutsutaan vastaavat järjestelmät.

Korvausmenetelmä

Vaihtomenetelmä seuraa seuraavaa kolmea vaihetta. Harkitse tätä varten järjestelmää

• Vaihe 1

Ensimmäinen askel on valitse yksi yhtälöistä (helpoin) ja eristä yksi tuntemattomista (helpoin). Täten,

x - 2y = -7

x = -7 + 2v

• Vaihe 2

Toisessa vaiheessa vain korvaa valitsemattomassa yhtälössä tuntematon eristetty ensimmäisessä vaiheessa. Pian,

3x + 2y = -7

3 (-7 + 2v) + 2v = - 5

-21 + 6y + 2y = -5

8y = -5 +21

8y = 16

y = 2

• Vaihe 3

Kolmas vaihe koostuu korvaa löydetty arvo toisessa vaiheessa missä tahansa yhtälöissä. Täten,

x = -7 + 2v

x = -7 + 2 (2)

x = -7 +4

x = -3

Siksi järjestelmäratkaisu on S {(-3, 2)}.

lisäysmenetelmä

Lisäysmenetelmän suorittamiseksi on muistettava, että yhden tuntemattomien kertoimien on oltava päinvastaiset, toisin sanoen joilla on yhtä suuri määrä vastakkaisia ​​merkkejä. Tarkastellaan samaa järjestelmää kuin korvausmenetelmä.

Katso, että tuntemattomat kertoimet y täyttävät ehtomme, joten riittää, että lisätään kukin järjestelmän sarakkeista, jolloin saadaan yhtälö:

4x + 0y = -12

4x = -12

x = -3

Ja korvaamalla x: n arvo missä tahansa yhtälöissä, jotka meillä on:

x - 2y = -7

-3 - 2y = -7

-2y = -7 + 3

(-1) (-2y) = -4 (-1)

2y = 4

y = 2

Siksi järjestelmän ratkaisu on S {(-3, 2)}

Lue myös: Ongelmanratkaisu yhtälöjärjestelmillä

Lineaaristen järjestelmien luokitus

Voimme luokitella lineaarisen järjestelmän ratkaisujen lukumäärän mukaan. Lineaarinen järjestelmä voidaan luokitella mahdollista ja määrätietoista, mahdollista jamäärittelemätön ja mahdotonta.

→ Järjestelmä on mahdollinen ja määritetty (SPD): ainutlaatuinen ratkaisu

→ Mahdollinen ja määrittelemätön järjestelmä (SPI): useampi kuin yksi ratkaisu

→ Mahdoton järjestelmä: ei ratkaisua

Katso kaavio:

Harjoitus ratkaistu

Kysymys 1 - (Vunesp) Mekaaninen lyijykynä, kolme muistikirjaa ja kynä maksoivat 33 reaalia yhdessä. Kaksi mekaanista lyijykynää, seitsemän muistikirjaa ja kaksi kynää maksaa 76 reaalia yhdessä. Mekaanisen lyijykynän, muistikirjan ja kynän hinta todellisuudessa on:

a) 11

b) 12

c) 13

d) 17

e) 38

Ratkaisu

Annetaan tuntematon x kunkin mekaanisen lyijykynän hintaan, y jokaisen muistikirjan hintaan ja z kunkin kynän hintaan. Lausunnosta meidän on:

Kertomalla ylin yhtälö -2: llä meidän on:

Kun lisätään termi termiin, meidän on:

y = 10

Korvaa arvon y ensimmäisessä yhtälössä, meidän on

x + 3y + z = 33

x + 30 + z = 33

x + z = 3

Siksi lyijykynän, muistikirjan ja kynän hinta on:

x + y + z = 13 reaalia.

Vaihtoehto C

kirjoittanut Robson Luiz
Matematiikan opettaja

Lähde: Brasilian koulu - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/sistema-duas-equacoes.htm