Motivaatio tutkimuksen operaatioiden välillä tulee niiden tarjoamasta helppoudesta arjen numeeristen ongelmien ratkaisemiseen. Käytämme joitain graafisia työkaluja, kuten venn-kaavio-Euler, määritellä päätoiminnot kahden tai useamman välillä sarjat, nimittäin: joukkojen yhdistäminen, joukkojen leikkauspiste, joukkoero ja täydentävä joukko.
sarjojen yhdistäminen
Kahden tai useamman joukon välinen liitos on uusi joukko, joka koostuu elementeistä, jotka kuuluvat ainakin yhteen kyseisiin joukkoihin. Muodollisesti liitosjoukon antaa:
Olkoon A ja B kaksi joukkoa, niiden välisen liitoksen muodostavat elementit, jotka kuuluvat joukkoon A tai B.
Toisin sanoen, vain liittää elementit A: n ja B: n kanssa.
Esimerkki:
a) Tarkastellaan joukkoja A = {0, 2, 4, 6, 8, 10} ja B = {1, 3, 5, 7, 9, 11}:
A U B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}
b) A = {x | x on luonnollinen parillinen luku} ja B {y | y on luonnollinen pariton luku}
Kaikkien luonnollisten tasaisuuksien ja kaikkien luonnollisten kertoimien yhdistäminen johtaa kaikkiin luonnollisiin lukuihin, joten meidän on
Sarjojen leikkauspiste
Kahden tai useamman joukon leikkauspiste on myös uusi muodostama joukko elementit, jotka kuuluvat samaan aikaan kaikkiin mukana oleviin sarjoihin. Virallisesti meillä on:
Olkoon A ja B kaksi joukkoa, niiden välisen leikkauspinnan muodostavat elementit, jotka kuuluvat joukkoon A ja B. Siksi meidän on otettava huomioon vain ne elementit, jotka ovat molemmissa sarjoissa.
Esimerkki
a) Tarkastellaan joukkoja A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, B = {0, 2, 4, 6, 8, 10} ja C = {0, –1, –2, –3 }
A ∩ B = {2, 4, 6}
A ∩ C = {}
B ∩ C = {0}
Joukkoa, jossa ei ole elementtejä, kutsutaan tyhjä sarja ja sitä voidaan esittää kahdella tavalla.
Lue myös: Aseta määritelmä
sarjajoukkojen ero
Kahden ryhmän, A ja B, välinen ero saadaan elementeistä, jotka kuuluvat A: hon ja A: han ei kuuluvat B.
Venn-Euler-kaaviossa erien A ja B välinen ero on:
Esimerkki
Tarkastellaan joukkoja A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, B = {0, 1, 2, 3, 4, 6, 7} ja C = {}. Määritetään seuraavat erot.
A - B = {5}
A - C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
C - A = {}
Huomaa, että joukossa A - B otamme aluksi sarjan A ja "poistamme" elementit joukosta B. Joukossa A - C otamme A: n ja "poistamme" tyhjyyden eli ei elementtejä. Lopuksi otamme C - A: ssa tyhjän sarjan ja "otamme" pois elementit A: sta, joita puolestaan ei enää ollut.
Lue myös: Tärkeitä merkintöjä sarjoista
Täydentävät sarjat
Tarkastellaan joukkoja A ja B, joissa joukko A sisältyy joukkoon B, toisin sanoen kaikki A: n elementit ovat myös B: n elementtejä. Joukkojen välistä eroa B - A kutsutaan A: n komplementiksi suhteessa B: hen. Toisin sanoen, komplementaarisen muodostavat kaikki elementit, jotka eivät kuulu joukkoon A suhteessa sarjaan B, johon se sisältyy.
Esimerkki
Tarkastellaan joukkoja A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} ja B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.
A: n komplementti suhteessa B: hen on:
ratkaistut harjoitukset
Kysymys 1 - Tarkastellaan joukkoja A = {a, b, c, d, e, f} ja B = {d, e, f, g, h, i}. Määritä (A - B) U (B - A).
Ratkaisu
Aluksi määritämme joukot A - B ja B - A ja sitten teemme niiden välisen liiton.
A - B = {a, b, c, d, e, f} - {d, e, f, g, h, i}
A - B = {a, b, c}
B - A = {d, e, f, g, h, i} - {a, b, c, d, e, f}
B - A = {g, h, i}
Siksi (A - B) U (B - A) on:
{a, b, c} U {g, h, i}
{a, b, c, g, h, i}
kysymys 2 - (Vunesp) Oletetaan, että A U B = {a, b, c, d, e, f, g, h}, A ∩ B = {d, e} ja A - B = {a, b, c}, sitten:
a) B = {f, g, h}
b) B = {d, e, f, g, h}
c) B = {}
d) B = {d, e}
e) B = {a, b, c, d, e}
Ratkaisu
Vaihtoehto b.
Järjestämällä elementit Venn-Euler-kaavioon lausunnon mukaan meillä on:
Siksi joukko B = {d, e, f, g, h}.
kirjoittanut Robson Luiz
Matematiikan opettaja
Lähde: Brasilian koulu - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/operacoes-com-conjuntos.htm
