Permutaatiot ovat osa laskentaongelmia. Käytämme permutaatioita tietääksemme joukon elementtien järjestysten lukumäärän. Harjoittele permutaatiotietoasi ja ratkaise epäilyksesi ratkaistujen harjoitusten avulla.
Harjoitus 1
Kaksi ystävää leikki kuusisivuisilla nopilla. Tiedetään, että numerot 4, 1, 2 ja 5 ilmestyivät, ei välttämättä tässä järjestyksessä. Kuinka monta tulossarjaa olisi voinut olla?
Vastaus: 24
Jonkinlainen tulosten järjestys voisi olla:
1, 2, 4 ja 5 tai
5, 4, 5 ja 1 tai
4, 5, 1 ja 2
Mahdollisten järjestysten kokonaismäärän määrittämiseksi laskemme permutaation, jossa on neljä erillistä elementtiä.
Harjoitus 2
Kuuden hengen kaveriporukka meni katsomaan elokuvaa elokuvateatteriin ja osti lippunsa samalle istuinriville. Ottaen huomioon, että siellä on pari ja he istuivat vierekkäisillä tuoleilla, kuinka monella tavalla nämä ystävät mahtuivat tuoliriviin?
Vastaus: 240
Koska kaikki "ystävät"-joukon elementit otetaan huomioon laskennassa, kyseessä on permutaatioongelma.
Permutaatioiden mahdollisen kokonaismäärän laskemiseksi otimme huomioon 5 elementtiä, koska parin on aina oltava yhdessä.
Lisäksi näistä 120 mahdollisuudesta meidän on kerrottava kahdella, koska pariskunta voi vaihtaa paikkoja keskenään.
Näin ollen ystäville on useita tapoja järjestää itsensä tuoliriville:
120. 2 = 240
Harjoitus 3
7 oppilaan luokka leikkii pihalla hyödyntäen väliaikaa. Kuultuaan signaalin, joka ilmoittaa palaamisesta luokkahuoneisiin, opiskelijat siirtyvät muodostamaan rivin. Kuinka monella eri tavalla opiskelijat voivat muodostaa jonosarjan?
Vastaus: 5040
Mahdollisten jonon järjestämistapojen kokonaismäärä on 7 erillisen elementin permutaatio.
Harjoitus 4
Valokuvaaja säätää kameraansa kuvaamaan viisi lasta penkille. Tässä ryhmässä on 3 tyttöä ja 2 poikaa. Mahdollinen lasten järjestely valokuvaa varten olisi:
Ottaen huomioon asennot, joissa lapset voivat istua penkillä, kuinka monella tavalla valokuvaaja voi järjestää pojat ja tytöt erilaisten kuvien saamiseksi?
Vastaus: 10
Tämä on tapaus permutaatiosta toistuvien elementtien kanssa. Meidän on jaettava permutaatioiden kokonaismäärä toistuvien elementtien permutaatioiden tulolla.
Harjoitus 5
Kuinka monta anagrammia voidaan tehdä sanan PREFEITURA kirjaimista?
Vastaus: 907 200
Sanassa CITY HALL on 10 kirjainta, joista osa toistuu. E-kirjain esiintyy kahdesti, samoin kuin R.
Laskemme jaon 10 elementin permutaatioiden välillä ja jaamme toistuvien elementtien permutaatioiden tulolla.
Harjoitus 6
(UEMG 2019) Sanan PONTA kaikkien kirjainten permutaatioiden joukosta yksi poistetaan satunnaisesti. Mikä on todennäköisyys poistaa sana, joka alkaa ja päättyy vokaaliin?
a) 1/20
b) 1/10
c) 1/6
d) 1/5
Vaihe 1: kaikkien permutaatioiden lukumäärä sanan PONTA kirjaimilla.
Koska kirjaimia on viisi erillistä, meillä on:
Vaihe 2: permutaatioiden lukumäärä, jotka alkavat ja päättyvät vokaaliin.
Ensimmäiselle kirjaimelle on kaksi vokaalivaihtoehtoa, viimeiselle kirjaimelle vain 1.
Konsonanteille on 3! mahdollisuuksia.
2.3!.1 = 2.3.2.1.1 = 12
Vaihe 3: määritä todennäköisyyssuhde.
Harjoitus 7
(EsPCex 2012) Todennäköisyys saada kahdella jaollinen luku, kun valitaan satunnaisesti jokin numeroiden 1, 2, 3, 4, 5 permutaatioista on
a) 1/5
b) 2/5
c) 3/4
d) 1/4
e) 1/2
Vaihe 1: kokonaismuutoksia.
Koska eri elementtejä on viisi, 5 elementin permutaatioiden määrä on yhtä suuri kuin 5 tekijää.
Vaihe 2: kahdella jaollisten lukujen permutaatiot viidellä numerolla.
Ollakseen jaollinen kahdella ehto on, että se on parillinen. Viimeiselle numerolle on siis kaksi vaihtoehtoa, 2 ja 4.
Muissa paikoissa on 4! mahdollisuuksia.
Vaihe 3: todennäköisyyslaskenta.
Harjoitus 8
(EsFCEx 2022) Olkoon P sekvenssin 1, 3, 6, 9, 12 permutaatioiden joukko, jonka ensimmäinen termi on eri kuin 1. Jos jokin näistä sarjoista piirretään satunnaisesti, todennäköisyys, että toinen termi on 3, on yhtä suuri kuin p/q, jolloin p, q ∈ IN* ja gcd (p, q) = 1. Siksi q – p on yhtä suuri kuin
a) 13.
b) 15.
c) 12.
d) 14.
e) 11.
Vaihe 1: määrittää mahdollisten tapausten kokonaismäärä näytetilassa.
Oikealta vasemmalle ensimmäinen numero ei voi olla yksi, joten ensimmäiselle sijalle on 4 mahdollisuutta.
Muissa paikoissa on 4! mahdollisuuksia.
Muutokset ovat:
1.4! = 4.4.3.2.1 = 96
Vaihe 2: määrittää tapahtuman mahdollisuudet, joista toinen on kolme ja ensimmäinen on erilainen kuin yksi.
Muutokset ovat:
3.1.3.2.1 = 18
Vaihe 3: todennäköisyyssuhde.
Todennäköisyyssuhde on:
Kun p = 18 ja q = 96.
Edellytyksenä on kuitenkin, että suurin yhteinen jakaja p: n ja q: n välillä on 1, mikä ei esiinny lukujen 18 ja 96 kanssa.
Meidän on yksinkertaistettava ja testattava 18/96 vastaavia murtolukuja.
Vaihe 4: todennäköisyysosuuden yksinkertaistaminen ja p: n ja q: n määritys.
Koska gcd (3, 16) = 1, p = 3 ja q = 16.
Vaihe 5: johtopäätös.
q - p = 16 - 3 = 13
Lisätietoja: permutaatio.
Katso lisää harjoituksia:
Kombinatorisen analyysin harjoitukset
ASTH, Rafael. Permutaatioharjoitukset ratkaistu ja selitetty.Kaikki väliä, [n.d.]. Saatavilla: https://www.todamateria.com.br/exercicios-de-permutacao/. Pääsy osoitteessa:
Katso myös
- Kombinatorinen analyysi
- Kombinatorisen analyysin harjoitukset
- Permutaatio: yksinkertainen ja toistolla
- Järjestely matematiikassa: mikä se on, kuinka laskea, esimerkkejä
- 27 matematiikan perustehtävät
- Yhdistelmä matematiikassa: miten lasketaan ja esimerkkejä
- Todennäköisyysharjoitukset
- Todennäköisyys
