O Venn kaavio on tapa, jota käytämme edustamaan numeeriset joukot jonka avulla voimme paremmin visualisoida joukkojen elementit ja niiden väliset operaatiot (liitto, leikkaus ja ero).
Lue myös: Numeerinen sarja — joukko, joka muodostuu järjestyksessä esitetyistä numeroista
Mikä on Venn-kaavio?
Venn-kaavio on tapa esittää yhden tai useamman joukon elementtejä. Tämän esityksen tekemiseksi käytämme suljettua geometrista muotoa ja kirjoitamme joukon elementit tähän geometriseen muotoon. Venn-kaavio helpottaa sarjojen välisten toimintojen visualisointia.
Esitykset Venn-kaaviossa
Esittääksemme joukon elementtejä Venn-kaaviossa sijoitamme joukon elementit suljetun alueen sisään.
→ Joukon esitys Venn-kaaviossa
Katso alta joukon A elementtien esitys: {0, 1, 2, 5, 9, 10} Venn-kaaviossa.
→ Kahden joukon esitys Venn-kaaviossa
Kahden joukon esittämiseksi kaaviossa analysoimme ensin, onko niillä yhteisiä elementtejä vai ei. Kaikissa näissä tapauksissa esitystapa on erilainen.
◦ Kahden joukon esitys, joilla on yhteisiä elementtejä
Haluamme esittää joukkoa A: {0, 1, 2, 5, 9, 10} ja joukkoa B: {0, 3, 4, 7, 9, 12}. Huomaa, että näillä sarjoilla on yhteisiä elementtejä. Näitä yhteisiä elementtejä kutsutaan leikkauspisteiksi ja ne kuuluvat molempiin kaavioihin.. Näiden joukkojen yhteiset elementit ovat {0, 9}. Sitten esitämme nämä joukot seuraavasti:
◦ Kahden joukon esitys, joilla ei ole yhteisiä elementtejä
Haluamme esittää joukkoa A: {0, 1, 2, 5, 9, 10} ja joukkoa B: {3, 4, 6, 7, 12}. Kun joukoilla ei ole yhteisiä elementtejä, ne tunnetaan disjunktijoukkoina. Sen esitys Venn-kaaviossa tapahtuu seuraavasti:
Toiminnot sarjojen välillä
Joukkojen väliset operaatiot ovat liitto, leikkaus ja ero. Voimme käyttää Venn-kaaviota näiden operaatioiden ratkaisemiseen.
→ Sarjojen liitto
Kahden joukon välinen liitto on kaikkien näihin ryhmiin kuuluvien elementtien liitto. Joukkojen A ja B välisen liiton esittämiseksi käytämme symbolia ∪ joukkoja edustavien kirjainten välissä, eli A∪B (lue: liitto B: n kanssa).
Esimerkki:
Tarkastellaan joukkoja A: {0, 1, 2, 5, 9, 10} ja B: {0, 3, 4, 9, 11, 12}. Näiden joukkojen liitto on joukko A∪B: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 9, 10, 11, 12}.
→ Joukkojen leikkauspiste
Kahden joukon leikkauspiste on muodostavat elementit, jotka kuuluvat molempiin ryhmiin samanaikaisesti. Risteyksen symboli on ∩, niin kuvaamaan kahden joukon välistä leikkauskohtaa kirjoitamme A∩B (lue: Leikkaus B: n kanssa).
Joukkojen leikkauskohtaa Venn-kaaviossa edustavat elementit, jotka kuuluvat sekä joukkoa A että joukkoa B rajaavaan alueeseen.
Esimerkki:
Tarkastellaan joukkoja A: {0, 1, 2, 5, 9, 10} ja B: {0, 3, 4, 9, 11, 12}. Näiden joukkojen leikkauspiste on joukko A∩B: {0, 9}.
→ Erot sarjojen välillä
Kahden joukon välistä eroa edustaa A – B. Ero koostuu elementeistä, jotka kuuluvat yhteen joukosta ja eivät kuulu toiseen. Esimerkiksi joukkojen A – B välisestä erosta löytyy joukko, jonka muodostavat alkiot, jotka kuuluvat vain joukkoon A, eli ne kuuluvat joukkoon A, mutta eivät kuulu joukkoon B.
Esimerkki:
Tarkastellaan joukkoja A: {0, 1, 2, 5, 9, 10} ja B: {0, 3, 4, 9, 11, 12}. Ero A – B on joukko A – B = {1, 2, 5, 10}, jotka ovat elementtejä, jotka kuuluvat joukkoon A, mutta eivät kuulu joukkoon B.
Tiedä myös: Operaatiot murtoluvuilla – miten se tehdään?
Ratkaistiin harjoituksia Venn-kaaviosta
Kysymys 1
Analysoi seuraavassa kuvassa esitettyä Venn-kaaviota:
Joukkoon B – A kuuluvat elementit ovat:
A) {d, b, c, f, g, h}
B) {a, i, e}
C) {d, b, c}
D) {f, g, h}
E) {a, b, c, d, e, f, g, h, e, i}
Resoluutio:
Vaihtoehto D
Haluamme elementit, jotka kuuluvat vain joukkoon B. Ne ovat: {f, g, h}.
Kysymys 2
Analysoi seuraava kaavio:
Korostettu alue on:
A) Kahden joukon välinen liitto
B) Ero näiden kahden joukon välillä
C) Kahden joukon leikkauspiste
D) Ensimmäisen joukon komplementti.
Resoluutio:
Vaihtoehto C
Aluetta, joka kuuluu molempiin ryhmiin samanaikaisesti, kutsutaan leikkauspisteeksi.
