A numerosarja on joukko numeroita järjestettynä järjestykseen. Numeerinen sekvenssi voidaan koota käyttämällä erilaisia kriteerejä – esimerkiksi parillisten lukujen sarjaa tai 3:n kerrannaisten sarjaa. Kun voimme kuvata tätä kriteeriä kaavalla, kutsumme tätä kaavaa numeerisen sekvenssin muodostuslakiksi.
Lue myös: Erot numeroiden, numeroiden ja numeroiden välillä
Yhteenveto numeerisesta sarjasta
Numerosarja on luettelo numeroista, jotka on järjestetty järjestykseen.
Numeerinen järjestys voi noudattaa erilaisia kriteerejä.
Numeerisen sekvenssin esiintymislaki on luettelo sekvenssissä olevista elementeistä.
Sarja voidaan luokitella kahdella tavalla. Toinen ottaa huomioon elementtien määrän ja toinen käyttäytymisen.
Mitä tulee alkuaineiden lukumäärään, sarja voi olla äärellinen tai ääretön.
Mitä tulee käyttäytymiseen, sekvenssi voi olla kasvava, vakio, laskeva tai värähtelevä.
Kun numeerista sarjaa voidaan kuvata yhtälöllä, tämä yhtälö tunnetaan numeerisen sekvenssin muodostuslakina.
Mitä ovat sekvenssit?
Sekvenssit ovat tiettyyn järjestykseen järjestettyjä elementtijoukkoja. Jokapäiväisessä elämässämme voimme havaita useita tilanteita, joihin liittyy sekvenssejä:
Kuukausien järjestys: Tammikuu, helmikuu, maaliskuu, huhtikuu,..., joulukuu.
2000-luvun viiden ensimmäisen MM-kisojen vuosien järjestys: 2002, 2006, 2010, 2014, 2018.
On olemassa useita muita mahdollisia sekvenssejä, kuten nimisekvenssi tai ikäjärjestys. Aina kun on vakiintunut järjestys, on järjestys.
Jokainen sekvenssin elementti tunnetaan sekvenssin terminä, joten sekvenssissä on ensimmäinen termi, toinen termi ja niin edelleen. Yleisesti, sekvenssi voidaan esittää:
\((a_1,a_2,a_3,…,a_n )\)
\(1\) → ensimmäinen termi.
\(a_2\) → toinen termi.
\(a_3\) → kolmas termi.
\(a_n\) → mikä tahansa termi.
Numeerisen sekvenssin esiintymislaki
Meillä voi olla eri elementtien sekvenssejä, kuten kuukausia, nimiä, viikonpäiviä jne. Asekvenssi on numeerinen sarja, kun se sisältää numeroita. Voimme muodostaa parillisten lukujen sarjan, parittomat numerot, alkuluvut, 5:n kerrannaiset jne.
Sarja esitetään esiintymälailla. Esiintymislaki ei ole muuta kuin numeerisen sekvenssin elementtien luettelo.
Esimerkkejä:
(1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15) → pariton numerosarja 1:stä 15:een.
(0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, ...) → numerosarja, joka on 5:n kerrannainen.
(-1, 1, -1, 1, -1, 1) → vuorotteleva sekvenssi 1:n ja -1:n välillä.
Mikä on numeerisen sekvenssin luokitus?
Voimme luokitella sekvenssit kahdella eri tavalla. Toinen niistä ottaa huomioon elementtien määrän ja toinen näiden elementtien käyttäytymisen.
→ Numeerisen sekvenssin luokitus alkioiden lukumäärän mukaan
Kun luokittelemme sekvenssin elementtien lukumäärän mukaan, on olemassa kaksi mahdollista luokittelua: äärellinen sarja ja ääretön sarja.
◦ Äärillinen lukujono
Sarja on äärellinen, jos siinä on rajoitettu määrä elementtejä.
Esimerkkejä:
(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10)
(0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0)
(-4, -6, -8, -10, -12)
◦ Ääretön numerosarja
Sarja on ääretön, jos siinä on rajoittamaton määrä elementtejä.
Esimerkkejä:
(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...)
(3, 0, -3, -6, -9, -12, ...)
( -1, 2, -4, 8, -16, ...)
→ Numeerisen sekvenssin luokitus sekvenssin käyttäytymisen mukaan
Toinen tapa luokitella on sekvenssikäyttäytyminen. Tässä tapauksessa sekvenssi voi olla kasvava, vakio, värähtelevä tai laskeva.
◦ Kasvava numerosarja
Sarja kasvaa, jos termi on aina suurempi kuin edeltäjänsä.
Esimerkkejä:
(1, 5, 9, 13, 17, ...)
(10, 11, 12, 13, 14, 15, ...)
◦ Jatkuva numerosarja
Sarja on vakio, kun kaikilla termeillä on sama arvo.
Esimerkkejä:
(1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...)
(-1, -1, -1, -1, -1, ...)
◦ Laskeva numerosarja
Järjestys pienenee, jos sekvenssin termit ovat aina pienempiä kuin edeltäjänsä.
Esimerkkejä:
(-1, -2, -3, -4, -5, ...)
(19, 16, 13, 10, 8, ...)
◦ Värähtelevä numerosarja
Sekvenssi on värähtelevä, jos siinä on vuorotellen edeltäjiään suurempia ja edeltäjiään pienempiä termejä.
Esimerkkejä:
(1, -3, 9, -27, 81, ...)
(1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, ...)
Numeerisen sekvenssin muodostumislaki
Joissakin tapauksissa on mahdollista kuvata sekvenssi kaavan avullaTämä ei kuitenkaan ole aina mahdollista. Esimerkiksi alkulukujono on hyvin määritelty sarja, mutta emme voi kuvata sitä kaavan avulla. Tietäen kaavan, pystyimme rakentamaan numeerisen sekvenssin esiintymislain.
Esimerkki 1:
Nollaa suurempien parillisten lukujen sarja.
\(a_n=2n\)
Huomaa, että kun vaihdat n yhdelle luonnollinen luku (1, 2, 3, 4, ...), löydämme parillisen luvun:
\(a_1=2⋅1=2\)
\(a_2=2⋅2=4\)
\(a_3=2⋅3=6\)
\(a_4=2⋅4=8\)
Meillä on siis kaava, joka luo nollaa suurempien parillisten lukujen muodostaman sekvenssin ehdot:
(2, 4, 6, 8, ...)
Esimerkki 2:
Luonnollisten lukujen sarja, joka on suurempi kuin 4.
\(a_n=4+n\)
Laskemalla sarjan ehdot, meillä on:
\(a_1=4+1=5\)
\(a_2=4+2=6\)
\(a_3=4+3=7\)
\(a_4=4+4=8\)
Tapahtuman lain kirjoittaminen:
(5, 6, 7, 8,…)
Katso myös: Aritmeettinen progressio — numeerisen sekvenssin erikoistapaus
Ratkaistiin harjoituksia numerojärjestyksessä
Kysymys 1
Numeerisen sekvenssin muodostuslaki on yhtä suuri kuin \(a_n=n^2+1\). Analysoimalla tätä sekvenssiä voimme todeta, että sekvenssin viidennen termin arvo on:
A) 6
B) 10
C) 11
D) 25
E) 26
Resoluutio:
Vaihtoehto E
Laskemalla sekvenssin viidennen termin arvon, meillä on:
\(a_5=5^2+1\)
\(a_5=25+1\)
\(a_5=26\)
Kysymys 2
Analysoi seuraavat numeeriset sekvenssit:
minä (1, -2, 3, -4, 5, -6, ...)
II. (13, 13, 13, 13, 13, ...)
III. (1, 2, 3, 4, 5, 6, ...)
Voimme todeta, että sekvenssit I, II ja III luokitellaan vastaavasti:
A) kasvava, värähtelevä ja laskeva.
B) laskeva, kasvava ja värähtelevä.
C) värähtelevä, vakio ja kasvava.
D) laskeva, värähtelevä ja vakio.
E) värähtelevä, laskeva ja kasvava.
Resoluutio:
Vaihtoehto C
Sekvenssejä analysoimalla voimme todeta, että:
minä (1, -2, 3, -4, 5, -6, ...)
Se on värähtelevää, koska on termejä, jotka ovat suurempia kuin edeltäjänsä, ja termejä, jotka ovat pienempiä kuin edeltäjänsä.
II. (13, 13, 13, 13, 13, ...)
Se on vakio, koska sekvenssin ehdot ovat aina samat.
III. (1, 2, 3, 4, 5, 6, ...)
Se kasvaa, koska termit ovat aina edeltäjiään suurempia.