A juurtuminen Se on matemaattinen operaatio, kuten yhteen-, vähennys-, kerto-, jako- ja potentiointi. Samalla tavalla kuin vähentäminen on käänteinen yhteenlasku ja jako on kertolasku, radisiaatio on potentioimisen käänteinen operaatio. Siten todellisille positiivisille x: lle ja y: lle ja kokonaisluvulle n (suurempi tai yhtä suuri kuin 2), jos x korotettuna arvoon n on yhtä suuri kuin y, voidaan sanoa, että y: n n: s juuri on yhtä suuri kuin x. Matemaattisessa merkinnässä: \(x^n=y\Rightarrow\sqrt[n]{y}=x\).
Lue myös:Fraktioiden potentioiminen ja säteilytys – miten se tehdään?
Yhteenveto juurtumisesta
Rootification on matemaattinen operaatio.
Säteily ja potentiaatio ovat käänteisiä operaatioita, eli positiivisille x: lle ja y: lle, \(x^n=y\Rightarrow\sqrt[n]{y}=x\).
Luvun y n: nnen juuren laskeminen tarkoittaa luvun x löytämistä siten, että x korotettuna arvoon n on yhtä kuin y.
Juuren lukeminen riippuu indeksistä n. Jos n = 2, kutsumme sitä neliöjuureksi ja jos n = 3, kutsumme sitä kuutiojuureksi.
Operaatioissa radikaalien kanssa käytämme termejä, joilla on sama indeksi.
Säteilyllä on tärkeitä ominaisuuksia, jotka helpottavat sen laskemista.
Videotunti juurruttamisesta
Juuren esitys
Edustaakseen juurtumista, meidän on otettava huomioon kolme asiaan liittyvää tekijää: radikaali, indeksi ja juuri. Symboli \(√\) kutsutaan radikaaliksi.
\(\sqrt[n]{y}=x\)
Tässä esimerkissä y on radikaali, n on indeksi ja x on juuri. Siinä lukee "y: n n: s juuri on x". Kun x ja y edustavat positiivisia reaalilukuja, n edustaa kokonaislukua, joka on yhtä suuri tai suurempi kuin 2. On tärkeää huomata, että arvolla n = 2 indeksi voidaan jättää pois. Joten esim. \(\sqrt[2]{9}=\sqrt9\).
Voimme esittää säteilyä käyttämällä radikandia murto-eksponentilla. Muodollisesti sanomme, että n: s juuri \(y^m\) voidaan kirjoittaa y: llä korotettuna murtolukueksponenttiin \(\frac{m}n\).
\(\sqrt[n]{y^m}=y^\frac{m}{n}\)
Katso esimerkit:
\(√5=5^\frac{1}{2}\)
\(\sqrt[3]{2^4}=2^\frac{4}{3}\)
Erot säteilyn ja potentiaation välillä
Potentiaatio ja säteily ovat käänteisiä matemaattisia operaatioita. Tämä tarkoittaa, että jos \(x^n=y\), sitten \(\sqrt[n]{y}=x\). Vaikuttaako vaikealta? Katsotaanpa joitain esimerkkejä.
Jos \(3^2=9\), sitten \(\sqrt[2]{9}=3\).
Jos \(2^3=8\), sitten \(\sqrt[3]{8}=2\).
Jos \(5^4=625\), sitten \(\sqrt[4]{625}=5\).
Kuinka lukea juuri?
Jos haluat lukea juuria, meidän on otettava huomioon indeksi n. Jos n = 2, kutsumme sitä neliöjuureksi. Jos n = 3, kutsumme sitä kuutiojuureksi. Arvoille n suurempia, käytämme järjestyslukujen nimistöä: neljäs juuri (jos n = 4), viides juuri (jos n = 5) ja niin edelleen. Katso joitain esimerkkejä:
\(\sqrt[2]{9}\) – 9:n neliöjuuri.
\(\sqrt[3]{8}\) – 8:n kuutiojuuri.
\(\sqrt[4]{625}\) – 625:n neljäs juuri.
Kuinka laskea luvun juuri?
Katsotaan alla, kuinka positiivisen reaaliluvun juuri lasketaan. Luvun juuren laskeminen, meidän on otettava huomioon vastaava käänteisoperaatio. Eli jos etsimme luvun y: ntä juuria, meidän on etsittävä lukua x, joka on sellainen \(x^n=y\).
Y: n (eli radikaanin) arvosta riippuen tämä prosessi voi olla yksinkertainen tai työläs. Katsotaanpa joitain esimerkkejä luvun juuren laskemisesta.
Esimerkki 1:
Mikä on luvun 144 neliöjuuri?
Resoluutio:
Soitetaan etsimämme numeroon x, eli \(\sqrt{144}=x\). Huomaa, että tämä tarkoittaa sellaisen luvun x etsimistä \(x^2=144\). Testataan joitain mahdollisuuksia luonnollisilla luvuilla:
\(9^2=81\)
\(10^2=100\)
\(11^2=121\)
\(12^2=144\)
Siksi, \(\sqrt{144}=12\).
Esimerkki 2:
Mikä on 100:n kuutiojuuri?
Resoluutio:
Soitetaan etsimämme numeroon x, eli \(\sqrt[3] = x\). Se tarkoittaa, että \(x^3=100\). Testataanpa joitain mahdollisuuksia:
\(2^3=8\)
\(3^3=27\)
\(4^3=64\)
\(5^3=125\)
Huomaa, että etsimme lukua, joka on välillä 4 ja 5, as \(4^3=64\) se on \(5^3=125\). Testataan siis joitain mahdollisuuksia numeroilla 4-5:
\(4,1^3=68,921\)
\(4,2^3=74,088\)
\(4,3^3=79,507\)
\(4,4^3=85,184\)
\(4,5^3=91,125\)
\(4,6^3=97,336\)
\(4,7^3=103,823\)
Kuten \(4,6^3 \) on luku, joka on lähellä ja pienempi kuin 100, voidaan sanoa, että 4.6 on likimäärä 100:n kuutiojuureen. Siksi, \(\sqrt[3] ≈4,6\).
Tärkeä:Kun juuri on rationaalinen luku, sanomme, että juuri on tarkka; muuten juuri ei ole tarkka. Yllä olevassa esimerkissä määritämme tarkkojen juurien välisen alueen, josta haettu juuri löytyy:
\(\sqrt[3]{64}
\(4
Tämä strategia on erittäin hyödyllinen juuren approksimaatioiden laskemiseen.
Operaatiot radikaalien kanssa
Operaatioissa radikaalien kanssa käytämme termejä, joilla on sama indeksi. Kun otat tämän huomioon, lue seuraavat tiedot huolellisesti.
→ Radiaalien välinen yhteen- ja vähennyslasku
Ratkaistaksemme radikaalien välisen yhteen- tai vähennyslaskennan, meidän on laskettava kunkin radikaalin juuri erikseen.
Esimerkkejä:
\(\sqrt[3]{27}+\sqrt[3]{216}=3+6=9\)
\(\sqrt{400}-\sqrt{169}=20-13=7\)
Tärkeä: Ei ole mahdollista käyttää radikaaleja yhteen- ja vähennysoperaatioissa. Huomaa, että esimerkiksi toiminta \(\sqrt4+\sqrt9\) tuloksena on eri määrä \(\sqrt{13}\), vaikka \(4+9=13\).
\(\sqrt4+\sqrt9=2+3=5\)
\(\sqrt{13}≈3,6\)
→ Kertominen ja jako radikaalien välillä
Radikaalien välisen kerto- tai jakolaskun ratkaisemiseksi voimme laskea kunkin radikaalin juuren erikseen, mutta voimme myös käyttää säteilyominaisuuksia, jotka nähdään alla.
Esimerkkejä:
\(\sqrt{121}⋅\sqrt{49}=11⋅49=539\)
\(\sqrt[3]{512}÷\sqrt[3]{64}=8÷4=2\)
Mitkä ovat säteilyn ominaisuudet?
→ Säteilyn ominaisuus 1
Jos y on positiivinen luku, niin n: s juuri \(y^n\) on yhtä suuri kuin y.
\(\sqrt[n]{y^n}=y\)
Katso esimerkki:
\(\sqrt[3]{2^3}=\sqrt[3]{8}=2\)
Tätä ominaisuutta käytetään laajalti yksinkertaistamaan lausekkeita radikaaleilla.
→ Säteilyn ominaisuus 2
Tuotteen n: s juuri \(y⋅z\) on yhtä suuri kuin y: n ja z: n n: nnen juuren tulo.
\(\sqrt[n]{y\cdot z}=\sqrt[n]{y}\cdot \sqrt[n]{z}\)
Katso esimerkki:
\(\sqrt{36 ⋅ 196}=\sqrt{36}⋅\sqrt{196}=6⋅14=84\)
Tärkeä: Kun laskemme suuren luvun juuren, se on erittäin hyödyllistä kerroin (hajoaa) radikaanin alkuluvuiksi ja käytä ominaisuuksia 1 ja 2. Katso seuraava esimerkki, jossa haluamme laskea \(\sqrt{7744}\):
\(7744=2^2⋅2^2⋅2^2⋅11^2\)
Kuten tämä,
\(\sqrt{2^2⋅2^2⋅2^2⋅11^2}=\sqrt{2^2}⋅\sqrt{2^2}⋅\sqrt{2^2}⋅\sqrt{11 ^2}= 2⋅2 ⋅2⋅11 = 88\)
→ Kiinteistö 3juurtumisesta
Osamäärän n: s juuri \(\frac{y}z\), kanssa \(z≠0\), on yhtä suuri kuin y: n ja z: n n: nnen juuren osamäärä.
\(\sqrt[n]{\frac{y}{z}}=\frac{\sqrt[n]{y}}{\sqrt[n]{z}}\)
Katso esimerkki:
\(\sqrt[a][\frac{125}{64}}=\frac{\sqrt[3]{125}}{\sqrt[3]{64}}=\frac{5}4\)
→ Säteilyn ominaisuus 4
Y: n n: s juuri korotettu eksponenttiin m on yhtä suuri kuin n: s juuri \(y^m\).
\((\sqrt[n]{y})^m=\sqrt[n]{y^m}\)
Katso esimerkki:
\((\sqrt[3]{8})^2=\sqrt[3]{8^2}=\sqrt[3]{64}=4\)
Katso myös: Mitkä ovat potentiaation ominaisuudet?
Ratkaistiin harjoituksia säteilystä
Kysymys 1
(FGV) Yksinkertaistaminen \(2\sqrt3+2\sqrt12-2\sqrt{75}\), saat:
A) 0
B) - 23
C) - 43
D) - 63
D) - 83
Resoluutio:
Vaihtoehto C.
Huomaa, että käyttämällä säteilyominaisuuksia meillä on
\(2\sqrt{12}=2⋅\sqrt{3⋅ 4}=2⋅\sqrt3⋅\sqrt4=2⋅\sqrt3⋅2=4\sqrt3\)
\(2\sqrt{75}=2⋅\sqrt{25⋅3}=2⋅\sqrt{25}⋅\sqrt3=2⋅5⋅\sqrt3=10\sqrt3\)
Näin ollen voimme kirjoittaa lauseen lausekkeen uudelleen muotoon
\(2\sqrt3+4\sqrt3-10\sqrt3\)
Termin laittaminen \(\sqrt3\) todisteita, päättelemme sen
\(2\sqrt3+4\sqrt3-10\sqrt3=(2+4-10)⋅\sqrt3=-4\sqrt3\)
Kysymys 2
(Cefet) Millä luvulla kerrotaan luku 0,75, jotta saadun tuotteen neliöjuuri olisi 45?
A) 2700
B) 2800
C) 2900
D) 3000
Resoluutio:
Vaihtoehto A.
Haettu numero on x. Näin ollen lausunnon mukaan
\(\sqrt{0,75⋅x}=45\)
Siksi,
\(0,75⋅x=45^2\)
\(0,75⋅x=2025\)
\(x=\frac{2025}{0.75}\)
\(x = 2700\)
