Operaatiot, joiden kompleksiluvut ovat trigonometrisessä muodossa, helpottavat laskemista, joka sisältää tämän ryhmän elementit. Trigonometrisessä muodossa olevien kompleksien kertominen ja jakaminen tapahtuu melkein välittömästi, kun taas algebrallisessa muodossa prosessi vaatii enemmän laskelmia. Trigonometrisessä muodossa olevien kompleksien tehostamista ja säteilyttämistä helpotetaan myös Moivren kaavojen avulla. Katsotaanpa, kuinka näiden numeroiden juurtuminen tapahtuu:
Tarkastellaan mitä tahansa kompleksilukua z = a + bi. Z: n trigonometrinen muoto on:
Z: n n-indeksin juuret saadaan Moivren toisella kaavalla:
Esimerkki 1. Etsi 2i: n neliöjuuret.
Ratkaisu: Ensiksi meidän on kirjoitettava kompleksiluku trigonometrisessä muodossa.
Kaikki kompleksiluvut ovat muotoa z = a + bi. Joten meidän on:
Tiedämme myös, että:
Sinus- ja kosini-arvojen perusteella voimme päätellä, että:
Siten z = 2i: n trigonometrinen muoto on:
Lasketaan nyt z: n neliöjuuret Moivren kaavan avulla.
Koska haluamme z: n neliöjuuret, saamme kaksi erillistä juurta z
Jos k = 0, meillä on
Jos k = 1, meillä on:
Tai
Esimerkki 2. Hanki z = 1 ∙: n kuutiojuuret (cosπ + i ∙ senπ)
Ratkaisu: Koska kompleksiluku on jo trigonometrisessä muodossa, käytä vain Moivren kaavaa. Lausekkeesta on, että ø = π ja | z | = 1. Täten,
Meillä on kolme erillistä juurta, z0, z1 ja z2.
Kun k = 0
Kun k = 1
Tai z1 = - 1, koska cos π = - 1 ja sin π = 0.
Kun k = 2
Älä lopeta nyt... Mainonnan jälkeen on enemmän;)
Kirjoittanut Marcelo Rigonatto
Tilastojen ja matemaattisen mallinnuksen asiantuntija
Brasilian koulutiimi
Monimutkaiset numerot - Matematiikka - Brasilian koulu
Haluatko viitata tähän tekstiin koulussa tai akateemisessa työssä? Katso:
RIGONATTO, Marcelo. "Kompleksilukujen säteily trigonometrisessä muodossa"; Brasilian koulu. Saatavilla: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/radiciacao-numeros-complexos-na-forma-trigonometrica.htm. Pääsy 29. kesäkuuta 2021.
