Tiedämme miten etenemiset erityistapaukset numerosekvenssit. Etenemisiä on kaksi:
aritmeettinen eteneminen
geometrinen eteneminen
Jotta voisimme olla eteneminen, meidän on analysoitava sekvenssin ominaisuudet, jos on olemassa mitä kutsumme syyksi. kun eteneminen on aritmeettinen, syy ei ole muuta kuin vakio, jonka lisäämme termiin löytääkseen sen seuraajan jaksosta; nyt, kun työskentelet etenemisen kanssa geometrinen, järjellä on samanlainen tehtävä, vain tässä tapauksessa syy on vakiotermi, jolla kerrotaan termi sekvenssissä sen seuraajan löytämiseksi.
Johdosta ennustettavissa oleva käyttäytyminen etenemisestä on olemassa erityisiä kaavoja minkä tahansa termin löytämiseksi näistä sekvensseistä, ja on myös mahdollista kehittää a kaava kullekin niistä (toisin sanoen yksi aritmeettiselle etenemiselle ja toinen geometriselle etenemiselle) summan laskemiseksi Alkaenei tämän edistymisen ensimmäiset ehdot.
Lue myös: Toiminnot - mitä ne ovat ja mihin ne ovat?
numerosarja
Jotta ymmärtäisimme etenemiset, meidän on ensin ymmärrettävä, mitä ne ovat numerosekvenssit. Kuten nimestä voi päätellä, tunnemme numerosarjan a joukko numeroita, jotka kunnioittavat järjestystä, ovat hyvin määriteltyjä tai eivät. toisin kuin sarjat numerot, joissa järjestyksellä ei ole merkitystä, järjestys on numeerisessa järjestyksessä välttämätön, esimerkiksi:
Sekvenssi (1, 2, 3, 4, 5) on erilainen kuin (5, 4, 3, 2, 1), joka eroaa sekvenssistä (1, 5, 4, 3, 2). Vaikka elementit ovat samat, koska järjestys on erilainen, niin meillä on erilaisia sekvenssejä.
Esimerkkejä:
Voimme kirjoittaa sekvenssejä, joiden muodostelmat on helppo nähdä:
a) (0, 2, 4, 6, 8, 10, 12) → parillisten numeroiden sarja, joka on pienempi tai yhtä suuri kuin 12.
b) (17, 15, 13, 11, 9, 7, 5) → parittomien lukujen regressiivinen jakso 17: stä 5: een.
c) (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13…) → tunnetaan nimellä Fibonacci-sekvenssi.
d) (1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4 ...) → vaikka tätä sekvenssiä ei ole mahdollista kuvata muiden tavoin, on helppo ennustaa, mitkä ovat sen seuraavat termit.
Muissa tapauksissa sekvenssien arvoissa voi olla kokonaissatunnaisuus, joka tapauksessa sekvenssi on tärkeää, että sinulla on joukko järjestettyjä arvoja.
1: een; 0,1; 0,02; 0,07; 0,0001; 7)
b) (2, 3, -3, 2, 6, 4, 8, -2 ...)
Niin kauan kuin b-kirjaimen seuraavia termejä ei ole mahdollista ennustaa, työskentelemme edelleen jatko-osan kanssa.
Yleisesti, merkkijonot on aina esitetty sulkeissa (), seuraavalla tavalla:
(1, a2,3, a4,5, a6, a7, a8 …) → ääretön jakso
(1, a2,3, a4,5, a6, a7, a8 … Aei) → äärellinen sekvenssi
Kummassakin meillä on seuraava edustus:
1 → ensimmäinen lukukausi
2 → toinen kausi
3 → kolmas termi
.
.
.
ei → n. Kausi
Havainto: On erittäin tärkeää, että kun kuvaa sekvenssiä, data on sulkeissa. Sekvenssimerkintä sekoitetaan usein asetettuun notaatioon. Sarja on esitetty aaltosulkeissa, ja sarjassa järjestys ei ole tärkeä, mikä tekee tässä tapauksessa kaiken eron.
(1, 2, 3, 4, 5) → järjestys
{1, 2, 3, 4, 5} → aseta
On erityisiä sekvenssitapauksia, jotka tunnetaan etenemisinä.
Katso myös: Mikä on laskennan perusperiaate?
Mitä ovat etenemiset?
Sekvenssi määritellään etenemisenä, kun sillä on a säännöllisyys termistä toiseen, joka tunnetaan syynä. Etenemistä on kaksi, aritmeettinen eteneminen ja geometrinen eteneminen. Tietääksemme kuinka erottaa kukin niistä, meidän on ymmärrettävä, mikä on etenemisen syy ja miten tämä syy on vuorovaikutuksessa sekvenssin ehtojen kanssa.
Kun jaksossa toisesta termistä toiseen minulla on a vakio summa, tämä sekvenssi määritellään etenemisenä, ja tässä tapauksessa se on a aritmeettinen eteneminen. Tätä arvoa, jota lisäämme jatkuvasti, kutsutaan suhteeksi. Toinen tapaus, eli kun sekvenssi on a geometrinen eteneminen, termistä toiseen on a kertomalla vakioarvolla. Vastaavasti tämä arvo on geometrisen etenemisen suhde.
Esimerkkejä:
a) (1, 4, 7, 10, 13, 16…) → huomaa, että lisäämme aina 3 termistä toiseen, joten aritmeettinen etenemissuhde on 3.
b) (1, 10, 100, 1000, 10000…) → tässä tapauksessa kerrotaan aina 10: llä yhdestä termistä toiseen käsittelemällä suhteen 10 geometrista etenemistä.
c) (0, 2, 8, 26…) → jälkimmäisessä tapauksessa on vain yksi sekvenssi. Seuraavan termin löytämiseksi kerrotaan termi 3: lla ja lisätään 2. Vaikka seuraavien termien löytämisessä onkin säännöllisyys, se on vain sarja, ei aritmeettinen tai geometrinen eteneminen.
aritmeettinen eteneminen
Kun työskentelemme numerosekvenssien kanssa, ne sekvenssit, joissa voimme ennustaa niiden seuraavat termit, ovat melko toistuvia. Jotta tämä sekvenssi voidaan luokitella a aritmeettinen eteneminen, täytyy olla a syy a. Ensimmäiseltä lukukaudelta seuraava kausi on muodostetaan edellisen kauden summalla syyn kanssa r.
Esimerkkejä:
a) (4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25 ...)
Tämä on sekvenssi, joka voidaan luokitella aritmeettiseksi etenemiseksi, koska syy r = 3 ja ensimmäinen termi on 4.
b) (7, 2, -3, -8, -13, -18, -23…)
Tämä sekvenssi on aritmeettinen eteneminen, jolla on hyvä syy. r = -5, ja sen ensimmäinen termi on 7.
PA: n ehdot
Monissa tapauksissa meidän etumme on löytää tietty termi etenemisessä tarvitsematta kirjoittaa koko sekvenssiä. Kun tiedetään ensimmäisen termin arvo ja suhde, on mahdollista löytää minkä tahansa termin arvo aritmeettisessa etenemisessä. Arimetisen etenemisen ehtojen löytämiseksi käytämme kaavaa:
ei =1+ (n - 1) r
Esimerkki:
Selvitä P.A: n 25. luku, jonka suhde on 3 ja ensimmäinen luku 12.
Tiedot r = 3,1 = 12. Haluamme löytää 25. lukukauden eli n = 25.
ei =1+ (n - 1) r
25 = 12 + (25 - 1) · 3
25 = 12 + 24 · 3
25 = 12 + 72
25 = 84
P.A: n yleinen toimikausi
Yleinen termikaava on a tapa yksinkertaistaa AP-termin kaavaa etsiä mikä tahansa etenemisjakso nopeammin. Kun ensimmäinen termi ja syy ovat tiedossa, riittää, että kaavassa korvataan P.A: n termi, jotta löydetään aritmeettisen etenemisen yleinen termi, joka riippuu vain arvosta ei.
Esimerkki:
Etsi yleinen termi henkilöllisyystodistukselle, jolla on r = 3 ja1 = 2.
ei = 2 + (n -1) r
ei = 2 + (n-1) 3
ei = 2 + 3n - 3
ei = 2n - 1
Tämä on P.A: n yleinen termi, jonka avulla löydetään mikä tahansa termi tässä etenemisessä.
Maksusopimuksen ehdot
THE PA: n ehtojen summa olisi melko työlästä, jos jokaisen sen ehdoista olisi löydettävä ja laskettava yhteen. Kaikkien summien laskemiseksi on kaava ei aritmeettisen etenemisen ensimmäiset ehdot:
Esimerkki:
Etsi kaikkien parittomien numeroiden summa välillä 1-100.
Tiedämme, että parittomat luvut ovat suhteen 2 aritmeettinen eteneminen: (1, 3, 5, 7… 99). Tässä etenemisessä on 50 termiä, koska 1: stä 100: een puolet luvuista on parillisia ja toinen puoli on pariton.
Siksi meidän on:
n = 50
1 = 1
ei = 99
Pääsy myös: 1. asteen toiminto - aritmeettisen etenemisen käytännön käyttö
Geometrinen eteneminen
Merkkijono voidaan myös luokitella PReteneminen geometrinen (PG). Jotta sekvenssi olisi geometrinen eteneminen, sillä on oltava syy, mutta tässä tapauksessa, jotta löydämme seuraavan termin ensimmäiseltä termiltä, suoritamme kerrotaan suhde edelliselle termille.
Esimerkkejä:
a) (3, 6, 12, 24, 48…) → Suhteen 2 geometrinen eteneminen ja sen ensimmäinen termi on 3.
b) (20, 200, 2000, 20000…) → Suhteen 10 geometrinen eteneminen ja sen ensimmäinen termi on 20.
PG: n toimikausi
Geometrisessä etenemisessä edustamme kirjaimen syytä mitä. Geometrisen etenemisen termi löytyy kaavasta:
ei =1 · mitän - 1
Esimerkki:
Etsi PG: n kymmenes kausi tietäen sen mitä = 2 ja1 = 5.
ei =1 · mitän - 1
10 = 5 · 210 - 1
10 = 5 · 29
10 = 5 · 512
10 = 2560
PG: n yleinen termi
Kun tiedämme ensimmäisen termin ja syyn, on mahdollista luoda yleinen termikaava geometrisesta etenemisestä, joka riippuu yksinomaan ei. Tätä varten meidän on vain korvattava ensimmäinen termi ja suhde, ja löydämme yhtälön, joka riippuu vain arvon ei.
Käyttämällä edellistä esimerkkiä, jossa suhde on 2 ja ensimmäinen termi on 5, tämän lääkärin yleinen termi on:
ei =1 · mitän - 1
ei = 5 · 2n - 1
PG: n ehtojen summa
Kaikkien etenemisehtojen lisääminen olisi paljon työtä. Monissa tapauksissa koko jakson kirjoittaminen tämän summan saavuttamiseksi on aikaa vievää. Tämän laskennan helpottamiseksi geometrisella etenemisellä on kaava, jota käytetään laskemaan summa ei ensimmäiset elementit äärellisen PG: n:
Esimerkki:
Löydä GP: n ensimmäisten 10 jakson summa (1, 2, 4, 8, 16, 32…).
Huomaa, että tämän PG: n suhde on 2.
1 = 1
mitä = 2
ei = 10
Lue myös: Eksponentiaalinen funktio - geometrisen etenemisen käytännön käyttö
Harjoitukset ratkaistu
Kysymys 1 - Tutkijat tarkkailevat tiettyä bakteeriviljelmää muutaman päivän ajan. Yksi heistä analysoi tämän populaation kasvua, ja hän huomasi, että ensimmäisenä päivänä oli 100 bakteeria; toisessa 300 bakteeria; kolmannessa 900 bakteeria ja niin edelleen. Analysoimalla tätä järjestystä voimme sanoa, että se on:
A) syyn 200 aritmeettinen eteneminen.
B) suhteen 200 geometrinen eteneminen.
C) syyn arimetinen eteneminen.
D) suhteen 3 geometrinen eteneminen.
E) sekvenssi, mutta ei etenemistä.
Resoluutio
Vaihtoehto D.
Analysoimalla järjestystä meillä on termit:
Huomaa, että 900/300 = 3 sekä 300/100 = 3. Siksi työskentelemme PG: n suhteen 3, kun kerrotaan kolmella ensimmäiseltä lukukaudelta.
Kysymys 2 - (Enem - PPL) Juoksun aloittelijalle määrättiin seuraava päivittäinen harjoittelusuunnitelma: juoksu 300 metriä ensimmäisenä päivänä ja nouse 200 metriä päivässä toisesta. Laskemaan suorituskykynsä hän käyttää lenkkiinsä kiinnitettyä sirua mitatessaan harjoituksessa kuljetun matkan. Ajattele, että tämä siru tallentaa muistiinsa enintään 9,5 km juoksua / kävelemisen, ja se on sijoitettava harjoittelun alkuun ja hävitettävä, kun tietovarannolle varattu tila on käytetty loppuun. Jos tämä urheilija käyttää sirua ensimmäisestä päivästä alkaen, kuinka monta peräkkäistä päivää tämä siru pystyy tallentamaan päivittäisen harjoittelusuunnitelman mittarilukeman?
A) 7
B) 8
C) 9
D) 12
E) 13
Resoluutio
Vaihtoehto B.
Analysoimalla tilannetta tiedämme, että meillä on PA, jonka syy on 200 ja alkupää on 300.
Lisäksi tiedämme, että summa Sei = 9,5 km = 9500 metriä.
Näiden tietojen avulla löydetään termi aei, joka on viimeisenä varastopäivänä kirjattu kilometrien määrä.
On myös syytä muistaa, että mikä tahansa termi aei voidaan kirjoittaa seuraavasti:
ei =1 + (n - 1)r
Kun otetaan huomioon yhtälö 200n² + 400n - 19000 = 0, voimme jakaa kaikki termit 200: lla, yksinkertaistamalla yhtälöä ja löytämällä: n² + 2n - 95 = 0.
Delta ja Bhaskara, meidän on:
a = 1
b = 2
c = -95
A = b2 - 4ac
Δ = 2² – 4 · 1 · (-95)
Δ = 4 – 4 · (-95)
Δ = 4 + 380
Δ = 384
Tiedämme, että 8,75 vastaa 8 päivää ja muutamaa tuntia. Tässä tapauksessa päivien määrä, jolloin mittaus voidaan suorittaa, on 8.
Kirjailija: Raul Rodrigues de Oliveira
Matematiikan opettaja
Lähde: Brasilian koulu - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/progressoes.htm