THE modulaarinen yhtälö on a yhtälö että ensimmäisessä tai toisessa jäsenessä on termit moduulissa. Moduuli, joka tunnetaan myös nimellä absoluuttinen arvo, on kytketty etäisyyteen, jonka luku on nollaan. Koska puhumme etäisyydestä, luvun moduuli on aina positiivinen. Modulaaristen yhtälötehtävien ratkaiseminen edellyttää moduulimääritelmän soveltamista, jako jaetaan yleensä kaksi mahdollista tapausta:
kun moduulin sisällä on positiivista ja
kun moduulin sisällä on negatiivinen.
Lue myös: Mikä on funktion ja yhtälön ero?
yksi reaalilukumoduuli
Modulaarisen yhtälöongelman ratkaisemiseksi on muistettava moduulimääritelmä. Moduuli on aina sama kuin etäisyyden, jonka numero on nolla, ja edustamaan luvun moduulia ei, käytämme suoraa palkkia seuraavasti: |ei|. |ei|, jaoimme kahteen tapaukseen:
Siksi voimme sanoa, että |ei| se on sama ei kun se on positiivinen luku tai nolla, ja toisessa tapauksessa |ei| on yhtä suuri kuin vastakohta ei jos se on negatiivinen. Muista, että negatiivisen luvun vastakohta on aina positiivinen, joten |ei| aina tulos on yhtä suuri kuin positiivinen luku.
Esimerkkejä:
a) | 2 | = 2
b) | -1 | = - (- 1) = 1
Katso myös: Kuinka ratkaista logaritminen yhtälö?
Kuinka ratkaista modulaarinen yhtälö?
Modulaarisen yhtälön ratkaisun löytämiseksi on analysoitava kukin mahdollisuuksista, eli jaettava aina kahdessa tapauksessa kukin moduuleista. Moduulimääritelmän tuntemisen lisäksi modulaaristen yhtälöiden ratkaisemiseksi on välttämätöntä osata ratkaista polynomiyhtälöt.
Esimerkki 1:
| x - 3 | = 5
Ratkaisun löytämiseksi tälle yhtälölle on tärkeää muistaa, että | on kaksi mahdollista lopputulostaei| = 5, ne ovat he, ei = -5, koska | -5 | = 5, ja myös ei = 5, koska | 5 | = 5. Joten saman idean avulla meidän on:
I → x - 3 = 5 tai
II → x - 3 = -5
Yhden yhtälön ratkaiseminen erikseen:
Päätöslauselma I:
x - 3 = 5
x = 5 + 3
x = 8
Päätöslauselma II:
x - 3 = -5
x = -5 + 3
x = -2
Joten on olemassa kaksi ratkaisua: S = {-2, 8}.
Huomaa, että jos x = 8, yhtälö on totta, koska:
| x - 3 | = 5
|8 – 3| = 5
|5| = 5
Huomaa myös, että jos x = -2, yhtälö on myös totta:
|-2 – 3| = 5
|-5| = 5
Esimerkki 2:
| 2x + 3 | = 5
Kuten esimerkissä 1, ratkaisun löytämiseksi on tarpeen jakaa se kahteen tapaukseen moduulin määritelmän mukaisesti.
I → 2x + 3 = 5
II → 2x + 3 = -5
Päätöslauselma I:
2x + 3 = 5
2x = 5-3
2x = 2
x = 2/2
x = 1
Päätöslauselma II:
2x + 3 = -5
2x = -5-3
2x = -8
x = -8/2
x = -4
Sitten aseta ratkaisuista on: S = {1, -4}.
Esimerkki 3:
| x + 3 | = | 2x - 1 |
Kun meillä on kahden moduulin tasa-arvo, meidän on jaettava se kahteen tapaukseen:
1. tapaus, saman merkin ensimmäinen ja toinen jäsen.
2. tapaus, ensimmäinen ja toinen vastakkaisten merkkien jäsen.
Päätöslauselma I:
Teemme molemmista puolista suurempia kuin nolla, eli yksinkertaisesti poistamme moduulin. Voimme tehdä myös molemmilla negatiivisilla, mutta tulos on sama.
X + 3 ≥ 0 → | x + 3 | = x + 3
2x - 1 ≥ 0 → | 2x - 1 | = 2x - 1
x + 3 = 2x - 1
x - 2x = -1 - 3
x = -4 (-1)
x = 4
Päätöslauselma II:
Vastakkaisten merkkien sivut. Valitsemme toisen puolen positiiviseksi ja toisen negatiiviseksi.
Valinta:
| x + 3 | ≥ 0 → | x + 3 | = x + 3
| 2x - 1 | <0 → | 2x –1 | = - (2x - 1)
Joten meidän on:
x + 3 = - (2x - 1)
x + 3 = - 2x + 1
x + 2x = - 3 + 1
3x = -2
x = -2/3
Joten ratkaisujoukko on: S = {4, -2/3}.
Pääsy myös: Mitä ovat irrationaaliset yhtälöt?
ratkaisi harjoituksia
Kysymys 1 - (UFJF) Modulaarisen yhtälön negatiivisten ratkaisujen määrä | 5x - 6 | = x² on:
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
Resoluutio
Vaihtoehto E
Haluamme ratkaista modulaarisen yhtälön:
| 5x - 6 | = x²
Joten jaetaan se kahteen tapaukseen:
Päätöslauselma I:
5x - 6> 0 → | 5x - 6 | = 5x - 6
Joten meidän on:
5x - 6 = x²
-x² + 5x - 6 = 0
Muista, että delta-arvo kertoo kuinka monta ratkaisua neliöyhtälöllä on:
a = -1
b = 5
c = -6
A = b2 - 4ac
Δ = 5² – 4 · (-1) · (-6)
Δ = 25 – 24
Δ = 1
Koska 1 on positiivinen, tässä tapauksessa on olemassa kaksi todellista ratkaisua.
Päätöslauselma II:
| 5x - 6 | <0 → | 5x - 6 | = - (5x - 6)
- (5x - 6) = x2
- 5x + 6 = x²
- x² - 5x + 6 = 0
A = b2 - 4ac
Δ = (-5)² – 4 · (-1) · (+6)
Δ = 25 + 24
Δ = 49
Koska Δ on positiivinen myös tässä tapauksessa, on olemassa kaksi todellista ratkaisua, joten todellisten ratkaisujen kokonaismäärä on 4.
Kysymys 2 - (PUC SP) Yhtälön ratkaisujoukko S | 2x - 1 | = x - 1 on:
A) S = {0, 2/3}
B) S = {0, 1/3}
C) S = Ø
D) S = {0, -1}
E) S = {0, 4/3}
Resoluutio
Vaihtoehto A
Päätöslauselma I:
| 2x - 1 | = 2x - 1
Joten meidän on:
2x - 1 = x - 1
2x - x = - 1 + 1
x = 0
Päätöslauselma II:
| 2x - 1 | = - (2x - 1)
- (2x - 1) = x - 1
-2x + 1 = x - 1
-2x - x = -1 - 1
-3x = -2 (-1)
3x = 2
x = 2/3
Lähde: Brasilian koulu - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/equacao-modular.htm