Hyperboli. hyperbolin määritelmä

Mikä on hyperbolia?
Määritelmä: Olkoon F1 ja F2 kaksi pistettä tasossa ja olkoon 2c niiden välinen etäisyys, hyperboli on joukko pisteistä tasossa, joiden etäisyys F1: een ja F2: een (moduulissa) on vakio 2a (0 <2a <2c).
Hyperbolen elementit:

F1 ja F2 → ovat hyperbolan polttopisteitä
→ on hyperbolin keskusta
2c → polttoväli
2. → reaalisen tai poikittaisen akselin mittaus
2b → kuvitteellinen akselimittaus
c / a → epäkeskisyys
A, b ja c → c välillä on suhde² =² + b²

Pienennetty hyperboliyhtälö
1. tapaus: Hyperbola, joka keskittyy x-akseliin.

On selvää, että tässä tapauksessa polttimilla on koordinaatit F1 (-c, 0) ja F2 (c, 0).
Siten ellipsin pelkistetty yhtälö keskikohdan kanssa suorakulmaisen tason alkupuolella ja keskittyy x-akselille, on:

2. tapaus: Hyperbola, jonka polttopisteet ovat y-akselilla.

Tässä tapauksessa polttimilla on koordinaatit F1 (0, -c) ja F2 (0, c).
Siten ellipsin pelkistetty yhtälö keskikohdan kanssa suorakulmaisen tason alkupuolella ja keskittyy y-akselille, on:

Esimerkki 1. Etsi hyperbolin pelkistetty yhtälö todellisen akselin 6, polttopisteiden F1 (-5, 0) ja F2 (5, 0) kanssa.

Ratkaisu: Meidän on
2a = 6 → a = 3
F1 (-5, 0) ja F2 (5, 0) → c = 5
Huomattavasta suhteesta saamme:
ç² =² + b^2 → 5² = 3² + b² → b² = 25 - 9 → b² = 16 → b = 4
Pienennetty yhtälö saadaan siis:

Esimerkki 2. Etsi supistettu hyperboliyhtälö, jossa on kaksi F2-koordinaatilla varustettua polttopistettä (0, 10) ja kuvitteellinen akseli 12.
Ratkaisu: Meidän on
F2 (0, 10) → c = 10
2b = 12 → b = 6
Merkittävää suhdetta käyttämällä saadaan:
10² =² + 6² → 100 = a² + 36 → a² = 100-36 → a² = 64 → a = 8.
Täten pelkistetyn hyperbolayhtälön antaa:

Esimerkki 3. Määritä hyperbolan polttoväli yhtälöllä
Ratkaisu: Koska hyperboliyhtälö on tyypiltään  Meidän täytyy
² = 16 ja b² =9
Saamastamme merkittävästä suhteesta
ç² = 16 + 9 → c² = 25 → c = 5
Polttovälin antaa 2c. Täten,
2c = 2 * 5 = 10
Joten polttoväli on 10.

Kirjoittanut Marcelo Rigonatto
Tilastojen ja matemaattisen mallinnuksen asiantuntija
Brasilian koulutiimi

Analyyttinen geometria - Matematiikka - Brasilian koulu