A suhteessa kultainen tai jumalallinen osuus on tasa-arvo, joka liittyy harmonian, kauneuden ja täydellisyyden ideoihin. Euklids Aleksandrialainen, kreikkalainen matemaatikko, joka eli noin 300 eaa. C., oli yksi ensimmäisistä ajattelijoista, jotka muotoilivat tämän käsitteen, joka tähän päivään asti kiehtoo tutkijoita eri aloilta.
Syynä tähän kiinnostukseen on se, että kultainen leikkaus on havaittavissa likimääräisellä tavalla luonnossa, myös kasvien siemenissä ja lehdissä sekä ihmiskehossa. Näin ollen kultaista leikkausta tutkivat eri ammattilaiset, kuten biologit, arkkitehdit, taiteilijat ja suunnittelijat.
Lue myös: Luku pi on yksi matematiikan tärkeimmistä vakioista
Tämän artikkelin aiheet
- 1 - Yhteenveto kultaisesta leikkauksesta
- 2 - Kuinka kultainen luku lasketaan?
- 3 - Kultainen suhde ja Fibonacci-sekvenssi
- 4 - Kultainen suhde ja kultainen suorakulmio
-
5 - Kultaisen leikkauksen sovellukset
- Kultainen suhde arkkitehtuurissa
- Kultainen suhde ihmiskehossa
- kultainen leikkaus taiteessa
- Kultainen suhde luonnossa
- Kultainen suhde suunnittelussa
- 6 - Ratkaistiin kultaisen leikkauksen harjoituksia
Yhteenveto kultaisesta leikkauksesta
Kultainen leikkaus on suhde \(a>b>0\) sellasta
\(\frac{a+b}a =\frac{a}b\)
Näissä olosuhteissa syy TheB kutsutaan kultaiseksi leikkaukseksi.
Kultainen leikkaus liittyy käsityksiin tasapainosta, puhtaudesta ja täydellisyydestä.
Kreikkalainen kirjain ϕ (lue: fi) edustaa kultaista lukua, joka on kultasuhteesta saatu vakio.
Fibonacci-sekvenssissä kunkin termin ja sen edeltäjän välinen osamäärä lähestyy kultaista lukua.
Kultainen suorakulmio on suorakulmio, jonka sivut ovat kultaisessa suhteessa.
Mikä on kultainen suhde?
Tarkastellaan janaa, joka on jaettu kahteen osaan: suurempi mitta The ja pienin B. tajuta että a+b on koko segmentin mitta.
kultainen leikkaus on tasa-arvoa syiden joukossa\(\mathbf{\frac{a+b}a}\) se on \(\mathbf{\frac{a}{b}}\), eli
\(\frac{a+b}a =\frac{a}b\)
Tässä yhteydessä sanomme sen The se on B ovat kultaisessa suhteessa.
Mutta mille arvoille The se on B onko meillä kultainen leikkaus? Sen näemme seuraavaksi.
Älä nyt lopeta... Julkisuuden jälkeen on muutakin ;)
Kuinka laskea kultainen luku?
Syy \(\frac{a}b\)(tai vastaavasti syy \(\frac{a+b}a\)) johtaa vakioon, jota kutsutaan kultaiseksi luvuksi ja sitä edustaa kreikkalainen kirjain ϕ. Kirjoittaminen on siis yleistä
\(\frac{a+b}a =\frac{a}b=ϕ\)
Kultaisen luvun laskemiseksi tarkastellaan kultaista suhdetta, kun b = 1. Siten voimme helposti löytää arvon The ja saa ϕ tasa-arvosta \(\mathbf{\frac{a}{b}=ϕ}\).
Huomaa, että voimme kirjoittaa kultaisen suhteen seuraavasti käyttämällä ristiinkerto-ominaisuutta:
\(a^2=b⋅(a+b)\)
Korvaa b = 1, meillä on
\(a^2=1⋅(a+1)\)
\(a^2-a-1=0\)
Bhaskaran kaavan soveltaminen tälle toisen asteen yhtälölle päätämme, että positiivinen ratkaisu The é
\(a=\frac{1+\sqrt5}2\)
Kuten The on segmentin mitta, jätämme negatiivisen ratkaisun huomioimatta.
Niin miten \(\frac{a}b=ϕ\), Kultaisen luvun tarkka arvo on:
\(ϕ=\frac{1+\sqrt5}2\)
Laskemalla osamäärä, saamme Kultaisen luvun likimääräinen arvo:
\(ϕ≈1,618033989\)
Katso myös: Kuinka ratkaista matemaattisia operaatioita murtoluvuilla?
Kultainen suhde ja Fibonacci-sekvenssi
A Fibonacci-sekvenssi on luettelo numeroista jossa jokainen termi kolmannesta alkaen on yhtä suuri kuin kahden edeltäjän summa. Katsotaanpa tämän sarjan kymmentä ensimmäistä termiä:
\(a_1=1\)
\(a_2=1\)
\(a_3=1+1=2\)
\(a_4=1+2=3\)
\(a_5=2+3=5\)
\(a_6=3+5=8\)
\(a_7=5+8=13\)
\(a_8=8+13=21\)
\(a_9=13+21=34\)
\(a_{10}=21+34=55\)
Kun laskemme osamäärän kunkin termin ja sen edeltäjän välillä Fibonacci-sekvenssissä, lähestymme kultaista numeroa ϕ:
\(\frac{a_2}{a_1}=\frac{1}1=1\)
\(\frac{a_3}{a_2}=\frac{2}1=2\)
\(\frac{a_4}{a_3}=\frac{3}2=1,5\)
\(\frac{a_5}{a_4}=\frac{5}3=1,6666…\)
\(\frac{a_6}{a_5}=\frac{8}5=1,6\)
\(\frac{a_7}{a_6}=\frac{13}8=1,625\)
\(\frac{a_8}{a_7}=\frac{21}{13}=1,6153…\)
\(\frac{a_9}{a_8}=\frac{34}{21}=1,61904…\)
\(\frac{a_10}{a_9}=\frac{55}{34}=1,61764…\)
Kultainen suhde ja kultainen suorakulmio
Yksi suorakulmio missä pisin puoli The ja pienempi puoli B ovat kultaisessa suhteessa sitä kutsutaan kultaiseksi suorakulmioksi. Esimerkki kultaisesta suorakulmiosta on suorakulmio, jonka sivujen pituus on 1 cm ja \(\frac{1+\sqrt5}2\) cm.
Tietää enemmän: Mitä ovat suoraan verrannolliset suuret?
Kultaisen suhteen sovellukset
Huomaa, että tähän asti olemme tutkineet kultaista leikkausta vain abstrakteissa matemaattisissa yhteyksissä. Seuraavaksi näemme joitain sovellettavia esimerkkejä, mutta varovaisuutta tarvitaan: kultaista leikkausta ei esitetä tarkasti missään näistä tapauksista. On olemassa analyyseja eri yhteyksistä, joissa kultainen numero näyttää siltälähentää.
Kultainen suhde arkkitehtuurissa
Jotkut tutkimukset väittävät, että arvioita kullan määrästä havaitaan tietyissä suhteissa Egyptissä sijaitsevan Cheopsin pyramidin ja New Yorkissa sijaitsevan YK: n päämajarakennuksen mittojen välillä.
Kultainen suhde ihmiskehossa
Ihmisen kehon mitat vaihtelevat henkilöittäin, eikä täydellistä vartalotyyppiä ole olemassa. Ainakin antiikin Kreikasta lähtien on kuitenkin keskusteltu matemaattisesti ihanteellisesta (ja todellisuudessa täysin saavuttamattomasta) kehosta kultaiseen leikkaukseen liittyvillä toimenpiteillä. Tässä teoreettisessa kontekstissa esim. ihmisen pituuden suhde navan ja maan väliseen etäisyyteen olisi kultainen luku.
kultainen leikkaus taiteessa
On tutkittu italialaisen Leonardo da Vincin teoksia "The Vitruvian Man" ja "Mona Lisa", jotka viittaavat kultaisten suorakulmioiden käyttö.
Kultainen suhde luonnossa
On tutkimuksia, jotka viittaavat a kultaisen leikkauksen ja tiettyjen kasvien lehtien jakautumistavan välinen suhde varren päällä. Tätä lehtien järjestelyä kutsutaan phyllotaksiaksi.
Kultainen suhde suunnittelussa
Kultaista leikkausta tutkitaan ja käytetään myös muotoilun alueella mm projektin kokoonpanotyökalu.
Ratkaistiin harjoituksia kultaisella leikkauksella
Kysymys 1
(Enem) Jana jaetaan kahteen osaan kultaisessa leikkauksessa, kun kokonaisuus on suhteessa toiseen osaan samassa suhteessa kuin tämä osa on toiseen. Tätä suhteellisuusvakiota edustaa yleensä kreikkalainen kirjain ϕ, ja sen arvo saadaan yhtälön ϕ2 = ϕ+1 positiivisella ratkaisulla.
Aivan kuten voima \(ϕ^2\), ϕ: n korkeammat potenssit voidaan ilmaista muodossa \(aϕ+b\), jossa a ja b ovat positiivisia kokonaislukuja taulukon mukaisesti.
tehoa \(ϕ^7\), kirjoitettu muodossa aϕ+b (a ja b ovat positiivisia kokonaislukuja), on
a) 5ϕ+3
b) 7ϕ+2
c) 9ϕ+6
d) 11ϕ+7
e) 13ϕ+8
Resoluutio
Kuten \(ϕ^7=ϕ⋅ϕ^6\), Meidän täytyy
\(ϕ^7=ϕ⋅ϕ^6 = ϕ⋅(8ϕ+5)\)
soveltamalla jakelua,
\(ϕ^7=8ϕ^2+5ϕ\)
Kuten \(ϕ^2=ϕ+1\),
\(ϕ^7=8⋅(ϕ+1)+5ϕ\)
\(ϕ^7=13ϕ+8\)
E vaihtoehto.
kysymys 2
Arvioi jokainen alla oleva kultaista numeroa koskeva väite T (tosi) tai F (epätosi).
i. Kultainen luku ϕ on irrationaalinen.
II. Kunkin termin ja sen edeltäjän väliset osamäärät Fibonacci-sekvenssissä lähestyvät ϕ: n arvoa.
III. 1,618 on kultaisen luvun ϕ pyöristys kolmen desimaalin tarkkuudella.
Oikea järjestys ylhäältä alas on
a) V-V-V
b) F-V-F
c) V-F-V
d) F-F-F
e) F-V-V
Resoluutio
i. Totta.
II. Totta.
III. Totta.
Vaihtoehto A.
Lähteet
FRANCISCO, S.V. alkaen L. Kultaisen leikkauksen kiehtovuuden ja todellisuuden välillä. Väitös (Matematiikan ammatillinen maisterin tutkinto National Networkissa) – Biotieteiden, kirjaimien ja täsmätieteiden instituutti, Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho. São Paulo, 2017. Saatavilla: http://hdl.handle.net/11449/148903.
SALES, J. alkaen S. Luonnossa oleva kultainen leikkaus. Kurssin suorittaminen (matematiikan tutkinto), Piauí liittovaltion koulutus-, tiede- ja teknologiainstituutti. Piauí, 2022. Saatavilla http://bia.ifpi.edu.br: 8080/jspui/handle/123456789/1551.
Kirjailija Maria Luiza Alves Rizzo
Matikan opettaja
Ymmärrä mikä se on ja kuinka lasketaan keskinopeus ja väestötiheys.
Opi mikä se on ja kuinka käyttää Bhaskaran kaavaa toisen asteen yhtälöiden ratkaisemiseen!
Ymmärrä, mitä suoraan verrannolliset suuret ovat, ja opi ratkaisemaan ongelmatilanteita, joihin liittyy tämäntyyppinen suhde.
Opi tästä kuinka määrittää, ovatko kaksi määrää tai lukua kääntäen verrannollisia. Katso esimerkkejä ja harjoituksia aiheesta!
Opi tästä, mikä osuus on ja kuinka se lasketaan. Katso myös sen pääominaisuudet ja ymmärrä, mitä suhteelliset suuret ovat.
Katso tästä eri tapoja esittää suhdetta, katso myös määritelmä ja joitain suhteiden sovelluksia. Opi soveltamaan näitä käsitteitä.
Opi käyttämään kolmen tai kolmen suuren yhdistelmäsääntöä löytääksesi tuntemattomia arvoja ja ongelmia kolmella tai neljällä suurella.
Tunne kolmen sääntö. Ymmärrä mitä suorat ja käänteisesti verrannolliset suuret ovat. Tunne ero yksinkertaisen kolmen säännön ja yhdistelmäsäännön välillä.
Numeeriset sekvenssit: Fibonacci-sekvenssi.
