Eksponentiaalinen tehtävä: 5 kommentoitua harjoitusta

THE eksponentti funktio on every: n jokainen funktio ℝ: ssä^*_+, määritetään f (x) = a^x, jossa a on reaaliluku, suurempi kuin nolla eikä yhtä kuin 1.

Hyödynnä kommentoituja harjoituksia ja poista kaikki epäilyt tästä sisällöstä ja tarkista tietosi kilpailujen ratkaistavissa kysymyksissä.

Kommentoidut harjoitukset

Harjoitus 1

Ryhmä biologeja tutkii tietyn bakteeripesäkkeen ja havaittiin, että ihanteellisissa olosuhteissa bakteerien määrä voidaan löytää ilmentymällä N (t) = 2000. 2^{0,5 t}, ollessa t tunteina.

Kun otetaan huomioon nämä olosuhteet, kuinka kauan bakteerien lukumäärä havainnon alkamisen jälkeen on 8192000?

Ratkaisu

Ehdotetussa tilanteessa tiedämme bakteerien lukumäärän, eli tiedämme, että N (t) = 8192000, ja haluamme löytää t: n arvon. Joten, vain korvaa tämä arvo annetussa lausekkeessa:

Tämän yhtälön ratkaisemiseksi kirjoitetaan luku 4096 alkutekijöihin, koska jos meillä on sama perusta, voimme yhtä suuret eksponentit. Siksi, laskemalla luku, meillä on:

Siten viljelmässä on 8 192 000 bakteeria yhden päivän (24 h) kuluttua havainnon alusta.

Harjoitus 2

Radioaktiivisilla materiaaleilla on ajan myötä luonnollinen taipumus hajottaa radioaktiivinen massa. Aikaa, jonka puolet sen radioaktiivisesta massasta hajoaa, kutsutaan sen puoliintumisajaksi.

Tietyn elementin radioaktiivisen materiaalin määrä saadaan seuraavasti:

Oleminen,

N (t): radioaktiivisen materiaalin määrä (grammoina) tiettynä aikana.
N₀: alkuperäinen materiaalimäärä (grammoina)
T: puoliintumisaika (vuosina)
t: aika (vuosina)

Kun otetaan huomioon, että tämän alkuaineen puoliintumisaika on 28 vuotta, määritä radioaktiivisen materiaalin tarvitsema aika 25 prosenttiin sen alkuperäisestä määrästä.

Ratkaisu

Ehdotetussa tilanteessa A (t) = 0,25 A₀ = 1/4 A₀, jotta voimme kirjoittaa annetun lausekkeen korvaamalla T: n 28 vuodella, sitten:

Siksi kestää 56 vuotta, ennen kuin radioaktiivisen materiaalin määrä vähenee 25%.

Kilpailukysymykset

1) Unesp - 2018

Ibuprofeeni on määrätty kipu- ja kuumelääke, jonka puoliintumisaika on noin 2 tuntia. Tämä tarkoittaa, että esimerkiksi 2 tunnin nauttimisen jälkeen 200 mg ibuprofeenia vain 100 mg lääkettä jää potilaan verenkiertoon. Kahden tunnin kuluttua (yhteensä 4 tuntia) verenkiertoon jää vain 50 mg ja niin edelleen. Jos potilas saa 800 mg ibuprofeenia 6 tunnin välein, tämän lääkkeen määrä, joka pysyy verenkierrossa 14 tunnin ajan ensimmäisen annoksen ottamisen jälkeen, lasketaan.

a) 12,50 mg
b) 456,25 mg
c) 114,28 mg
d) 6,25 mg
e) 537,50 mg

Katso Vastaus

Koska verenkierron lääkkeiden alkuperäinen määrä 2 tunnin välein on jaettu puoleen, voimme esittää tämän tilanteen seuraavalla kaavalla:

Huomaa, että eksponentti on kussakin tilanteessa yhtä suuri kuin aika jaettuna 2: lla. Siten voimme määritellä lääkityksen määrän verenkierrossa ajan funktiona käyttämällä seuraavaa ilmaisua:

Oleminen

Q (t): määrä tietyssä tunnissa
Q₀: alkuperäinen nautittu määrä
t: aika tunteina

Ottaen huomioon, että 800 mg ibuprofeenia otettiin 6 tunnin välein, meillä on:

Verenkierrossa olevan lääkkeen määrän löytämiseksi 14 tuntia ensimmäisen annoksen ottamisen jälkeen meidän on lisättävä määrät, jotka viittaavat 1., 2. ja 3. annokseen. Laskettaessa näitä määriä meillä on:

Ensimmäisen annoksen määrä löytyy ottaen huomioon aika, joka on yhtä suuri kuin 14 h, joten meillä on:

Toisen annoksen aika, kuten yllä olevassa kaaviossa on esitetty, oli 8 tuntia. Korvaamalla tämän arvon meillä on:

Kolmannen annoksen aika on vain 2 tuntia. Kolmanteen annokseen liittyvä määrä on tällöin:

Nyt kun tiedämme jokaisen nautitun annoksen määrät, voimme löytää kokonaismäärän lisäämällä kukin löydetyistä määristä:

Q_{kaikki yhteensä}= 6,25 + 50 + 400 = 456,25 mg

Vaihtoehto b) 456,25 mg

2) UERJ - 2013

Kaupungin toimitukseen käytetty järvi oli saastunut teollisuusonnettomuuden jälkeen ja saavutti myrkyllisyystason T₀, joka vastaa kymmenen kertaa alkuperäistä tasoa.
Lue alla olevat tiedot.

• Järven luonnollinen virtaus sallii 50% sen tilavuudesta uusiutua kymmenen päivän välein.
• Myrkyllisyystaso T (x) x päivän kuluttua onnettomuudesta voidaan laskea seuraavalla yhtälöllä:

Harkitse D: tä pienin vesipäivän suspendointipäivien määrä, joka tarvitaan myrkyllisyyden palaamiseksi alkuperäiselle tasolle.
Jos log 2 = 0,3, D: n arvo on yhtä suuri kuin:

a) 30
b) 32
c) 34
d) 36

Katso Vastaus

Alkuperäisen toksisuustason palauttamiseksi on välttämätöntä, että:

Kun tämä arvo korvataan annetussa funktiossa, meillä on:

Kerrotaan ristillä, yhtälöstä tulee:

2 ^0,1x= 10

Sovelletaan perus 10 logaritmia molemmille puolille, jotta siitä saadaan 1. asteen yhtälö:

loki (2^0,1x) = loki 10

Muistaen, että 10: n logaritmi pohjassa 10 on yhtä kuin 1, yhtälömme näyttää tältä:

0,1x. log 2 = 1

Ottaen huomioon, että log 2 = 0,3 ja korvaamalla tämä arvo yhtälössä:

Näin ollen suurin osa päivistä, jolloin toimitus on keskeytettävä, on 34 päivää.

Vaihtoehto c) 34

3) Fuvesp - 2018

Olkoon f: ℝ → ℝ ja g: ℝ₊ → ℝ määritelty

vastaavasti.

Kaavio komposiittifunktiosta g_ºusko:

Katso Vastaus

Etsimäsi kaavio on yhdistetty funktio g_ºf, siis ensimmäinen vaihe on määrittää tämä toiminto. Tätä varten meidän on korvattava funktio f (x) funktion g (x) x: ssä. Tekemällä tämän korvauksen löydämme:

Käyttämällä osamäärän ja voiman logaritmiominaisuutta meillä on:

Huomaa, että yllä löydetty funktio on tyyppiä ax + b, joka on affiinifunktio. Joten kaavio on suora viiva.

Myös kaltevuus a on sama kuin tukki₁₀ 5, mikä on positiivinen luku, joten kaavio kasvaa. Tällä tavoin voimme poistaa vaihtoehdot b, c ja e.

Meille jää kuitenkin vaihtoehdot a ja d, kun x = 0, meillä on gof = - log₁₀ 2, joka on negatiivinen arvo, kuten kuvaaja a esittää.

Vaihtoehto a)

4) Unicamp - 2014

Alla oleva kaavio näyttää mikro-organismipopulaation bioottisen potentiaalikäyrän q (t) ajanjaksolla t.

Koska a ja b ovat todellisia vakioita, toiminto, joka voi edustaa tätä potentiaalia, on

a) q (t) = kohdassa + b
b) q (t) = ab^t
c) q (t) = kohdassa² + bt
d) q (t) = a + loki _B t

Katso Vastaus

Esitetystä kaaviosta voimme tunnistaa, että kun t = 0, funktio on yhtä suuri kuin 1000. Lisäksi on myös mahdollista havaita, että funktio ei ole affinea, koska kaavio ei ole suora viiva.

Jos funktio olisi tyypin q (t) = at²+ bt, kun t = 0, tulos olisi yhtä suuri kuin nolla eikä 1000. Joten se ei ole myöskään neliöllinen funktio.

Kuinka kirjautua_B0 ei ole määritelty, eikä se voinut vastata funktioon q (t) = a + loki_Bt.

Täten ainoa vaihtoehto olisi funktio q (t) = ab^t. Ottaen huomioon t = 0, funktio on q (t) = a, koska a on vakioarvo, riittää, että se on yhtä suuri kuin 1000, jotta funktio mahtuu annettuun kaavioon.

Vaihtoehto b) q (t) = ab^t

5) Enem (PPL) - 2015

Yrityksen työntekijäyhdistys ehdottaa, että luokan palkkataso on 1 800,00 R $, mikä ehdottaa kiinteää prosenttikorotusta kullekin vuodelle, joka on omistettu työhön. Ilmaisu, joka vastaa palkkatarjous (ehdotuksia) vuosipalvelun pituuden (t) funktiona, on s (t) = 1800. (1,03)^t .

Ammattiliiton ehdotuksen mukaan kahden vuoden palveluksessa olevan yrityksen ammattilaisen palkka on todellisuudessa

a) 7 416,00
b) 3 819,24
c) 3 709,62
d) 3 708,00
e) 1,909,62.

Katso Vastaus

Unionin ehdottama ilmaus palkan laskemiseksi ajan funktiona vastaa eksponentiaalista funktiota.

Löydämme palkan arvon ilmoitetusta tilanteesta laskemalla s: n arvo, kun t = 2, kuten alla on esitetty:

s (2) = 1800. (1,03)² = 1800. 1,0609 = 1 909,62

Vaihtoehto e) 1 909,62

Lue myös:

• Eksponentti funktio
• Logaritmi
• Logaritmi - Harjoitukset
• Logaritmin ominaisuudet
• Tehostaminen
• tehostusharjoitukset
• Affine-toiminto
• Lineaarinen toiminto
• Aiheeseen liittyvät toimintoharjoitukset
• Toissijainen funktio
• Nopeusfunktio - Harjoitukset
• Matemaattiset kaavat