Käänteismatriisilaskenta: ominaisuudet ja esimerkit

Käänteinen matriisi tai käänteinen matriisi on eräänlainen neliömäinen matriisi, eli sillä on sama määrä rivejä (m) ja sarakkeita (n).

Se tapahtuu, kun kahden matriisin tuloksen tuloksena on a saman kertaluvun identiteettimatriisi (sama määrä rivejä ja sarakkeita).

Täten matriisin käänteisen löytämiseksi käytetään kertomista.

THE. B = B. A = minä_ei (kun matriisi B on matriisin A käänteinen)

Mutta mikä on identiteettimatriisi?

THE Identiteettimatriisi on määritelty, kun päädiagonaalin elementit ovat kaikki yhtä suuria kuin 1 ja muut elementit ovat yhtä suuria kuin 0 (nolla). Sen osoittaa I_ei:

Käänteiset matriisiominaisuudet

• Kullekin matriisille on vain yksi käänteinen.
• Kaikilla matriiseilla ei ole käänteistä matriisia. Se on käännettävissä vain, kun neliömäisten matriisien tuloksen tuloksena on identiteettimatriisi (I_ei)
• Käänteisen käänteismatriisi vastaa itse matriisia: A = (A^-1)^-1
• Käänteismatriisin transponoitu matriisi on myös käänteinen: (A^t) ^-1 = (A^-1)^t
• Transponoidun matriisin käänteinen matriisi vastaa käänteisen transponointia: (A^-1 THE^{t) -1}
• Identiteettimatriisin käänteinen matriisi on yhtä suuri kuin identiteettimatriisi: I^-1 = Minä

Katso myös: Matriisit

Käänteismatriisiesimerkit

2x2 käänteinen matriisi

3x3 käänteinen matriisi

Vaihe vaiheelta: Kuinka käänteismatriisi lasketaan?

Tiedämme, että jos kahden matriisin tulo on identtinen identiteettimatriisin kanssa, tällä matriisilla on käänteinen.

Huomaa, että jos matriisi A on matriisin B käänteinen, käytetään merkintää: A^-1.

Esimerkki: Etsi matriisin käänteinen arvo alle 3x3-järjestyksen.

Ensinnäkin meidän on muistettava, että A. THE^-1 = I (Matriisi kerrottuna sen käänteisarvolla johtaa identiteettimatriisiin I_ei).

Ensimmäisen matriisin ensimmäisen rivin kukin elementti kerrotaan toisen matriisin jokaisella sarakkeella.

Siksi ensimmäisen matriisin toisen rivin elementit kerrotaan toisen sarakkeilla.

Ja lopuksi ensimmäisen kolmas rivi toisen sarakkeilla:

Yhdistämällä elementit identiteettimatriisiin voimme löytää seuraavien arvot:

a = 1
b = 0
c = 0

Tietäen nämä arvot voimme laskea matriisin muut tuntemattomat. Ensimmäisen matriisin kolmannella rivillä ja ensimmäisessä sarakkeessa on + 2d = 0. Joten aloitetaan etsimällä arvon dkorvaamalla löydetyt arvot:

1 + 2d = 0
2d = -1
d = -1/2

Samoin voimme löytää arvon kolmannesta rivistä ja toisesta sarakkeesta ja:

b + 2e = 0
0 + 2e = 0
2e = 0
e = 0/2
e = 0

Jatkamalla meillä on kolmannen sarakkeen kolmannella rivillä: c + 2f. Huomaa, että tämän yhtälön toinen identiteettimatriisi ei ole yhtä suuri kuin nolla, mutta yhtä suuri kuin 1.

c + 2f = 1
0 + 2f = 1
2f = 1
f = ½

Siirtymällä toiseen riviin ja ensimmäiseen sarakkeeseen löydämme arvon g:

a + 3d + g = 0
1 + 3. (-1/2) + g = 0
1 - 3/2 + g = 0
g = -1 + 3/2
g = ½

Toiselta riviltä ja toisesta sarakkeesta löydämme arvon H:

b + 3e + h = 1
0 + 3. 0 + h = 1
h = 1

Lopuksi, löydetään arvo i toisen rivin ja kolmannen sarakkeen yhtälöllä:

c + 3f + i = 0
0 + 3 (1/2) + i = 0
3/2 + i = 0
i = 3/2

Löydettyämme kaikki tuntemattomat arvot voimme löytää kaikki elementit, jotka muodostavat A: n käänteisen matriisin:

Valintakokeen harjoitukset palautteella

1. (Cefet-MG) Matriisi on käänteinen
Voidaan oikein sanoa, että ero (x-y) on yhtä suuri kuin:

a) -8
b) -2
c) 2
d) 6
e) 8

Katso Vastaus

Vaihtoehto e: 8

2. (UF Viçosa-MG) Olkoon matriisit:

Missä x ja y ovat reaalilukuja ja M on A: n käänteinen matriisi. Joten xy-tuote on:

a) 3/2
b) 2/3
c) 1/2
d) 3/4
e) 1/4

Katso Vastaus

Vaihtoehto: 3/2

3. (PUC-MG) Matriisin käänteinen matriisi se on sama kuin:

)
B)
ç)
d)
ja)

Katso Vastaus

Vaihtoehto b:

Lue myös:

• Matriisit - Harjoitukset
• Matriisit ja determinantit
• Matriisien tyypit
• Transponoitu matriisi
• Matriisikertaus