Keskiarvo, muoti ja mediaani

Keskiarvo, tila ja mediaani ovat mittareita, joita käytetään tilastoissa.

Keskiverto

Keskiarvo (M_ja) lasketaan lisäämällä kaikki tietojoukon arvot ja jakamalla kyseisen joukon elementtien lukumäärällä.

Koska keskiarvo on otosarvoille herkkä mitta, se soveltuu paremmin tilanteisiin, joissa data on jakautunut enemmän tai vähemmän tasaisesti, toisin sanoen arvoihin ilman suuria eroja.

Kaava

Oleminen,

M_ja: keskiverto
x₁, x₂, x₃,..., x_ei: data-arvot
n: datajoukon elementtien lukumäärä

Esimerkki

Koripallojoukkueen pelaajilla on seuraavat ikät: 28, 27, 19, 23 ja 21 vuotta. Mikä on tämän joukkueen keski-ikä?

Ratkaisu

Lue myös Yksinkertainen keskiarvo ja painotettu keskiarvo ja Geometrinen keskiarvo.

Muoti

Muoti (M_O) edustaa tietojoukon yleisintä arvoa, joten sen määrittämiseksi riittää tarkkailemaan taajuuksia, joilla arvot näkyvät.

Tietojoukkoa kutsutaan bimodaaliseksi, kun sillä on kaksi tilaa, toisin sanoen kaksi arvoa on yleisempi.

Esimerkki

Kenkäkaupassa yhden päivän ajan myytiin seuraavat kenkänumerot: 34, 39, 36, 35, 37, 40, 36, 38, 36, 38 ja 41. Mikä on tämän näytteen muotiarvo?

Ratkaisu

Myydyt numerot huomasimme, että numero 36 oli suurin taajuus (3 paria), joten tila on yhtä suuri kuin:

M_O = 36

mediaani

Mediaani (M._d) edustaa tietojoukon ydinarvoa. Mediaaniarvon löytämiseksi on tarpeen sijoittaa arvot nousevaan tai laskevaan järjestykseen.

Kun joukon elementtien määrä on tasainen, mediaani löytyy kahden keskiarvon keskiarvosta. Siten nämä arvot lisätään ja jaetaan kahdella.

Esimerkkejä

1) Koulussa liikunnanopettaja kirjoitti opiskelijaryhmän pituuden. Ottaen huomioon, että mitatut arvot olivat: 1,54 m; 1,67 m, 1,50 m; 1,65 m; 1,75 m; 1,69 m; 1,60 m; 1,55 m ja 1,78 m, mikä on opiskelijoiden mediaanikorkeuden arvo?

Ratkaisu

Ensin meidän on järjestettävä arvot. Tässä tapauksessa laitamme sen nousevaan järjestykseen. Täten tietojoukko on:

1,50; 1,54; 1,55; 1,60; 1,65; 1,67; 1,69; 1,75; 1,78

Koska joukko koostuu 9 elementistä, joka on pariton luku, mediaani on yhtä suuri kuin viides elementti, eli:

M_d = 1,65 m

2) Laske seuraavan datanäytteen mediaaniarvo: (32, 27, 15, 44, 15, 32).

Ratkaisu

Ensin on järjestettävä tiedot, joten meillä on:

15, 15, 27, 32, 32, 44

Koska tämä näyte koostuu 6 elementistä, mikä on parillinen luku, mediaani on yhtä suuri kuin keskeisten elementtien keskiarvo, ts.

Jos haluat lisätietoja, lue myös:

• Tilastotiedot
• Dispersiotoimenpiteet
• Varianssi ja keskihajonta

Ratkaistut harjoitukset

1. (BB 2013 - Carlos Chagasin säätiö). Viikon neljän ensimmäisen työpäivän aikana pankkikonttorin johtaja palveli 19, 15, 17 ja 21 asiakasta. Viikon viidentenä arkipäivänä tämä johtaja osallistui n asiakkaaseen.

Jos tämän johtajan palvelemien asiakkaiden keskimääräinen päivämäärä tämän viikon viiden työpäivän aikana oli 19, mediaani oli

a) 21.
b) 19.
c) 18.
d) 20.
e) 23.

Katso Vastaus

Vaikka tiedämme jo keskiarvon, meidän on ensin tiedettävä asiakkaiden määrä, joka palveli viidentenä arkipäivänä. Täten:

Mediaanin löytämiseksi meidän on asetettava arvot nousevaan järjestykseen, joten meillä on: 15, 17, 19, 21, 23. Siksi mediaani on 19.

Vaihtoehto: b) 19.

2. (ENEM 2010 - kysymys 175 - Prova Rosa). Alla olevassa taulukossa esitetään jalkapallojoukkueen suorituskyky viimeisessä mestaruudessa.

Vasemmassa sarakkeessa näkyy maalien määrä ja oikeassa sarakkeessa kerrotaan, kuinka monessa pelissä joukkue on tehnyt tämän määrän maaleja.

Maalit tehtiin	Otteluiden määrä
0	5
1	3
2	4
3	3
4	2
5	2
7	1

Jos X, Y ja Z ovat vastaavasti tämän jakauman keskiarvo, mediaani ja tila, niin

a) X = Y b) Z c) Y d) Z d) Z

Katso Vastaus

Meidän on laskettava keskiarvo, mediaani ja tila. Keskiarvon laskemiseksi meidän on lisättävä maalien kokonaismäärä ja jaettava otteluiden määrällä.

Maalien kokonaismäärä saadaan kertomalla maalien määrä otteluiden määrällä, eli:

Maalit yhteensä = 0,5 + 1,3 + 2,4 + 3,3 + 4,2 + 5,2 + 7,1 = 45

Jos otteluiden kokonaismäärä on 20, maalien keskiarvo on yhtä suuri kuin:

Muotiarvon löytämiseksi tarkistetaan tavallisin maalimäärä. Tässä tapauksessa huomataan, että viidessä ottelussa ei tehty maaleja.

Tämän tuloksen jälkeen ottelut, joilla oli 2 maalia, olivat yleisimmät (yhteensä 4 ottelua). Siksi,

Z = M_O = 0

Mediaani löydetään asettamalla maalien numerot järjestykseen. Koska pelien lukumäärä oli 20, mikä on tasainen arvo, meidän on laskettava keskiarvo kahden keskeisen arvon välillä, joten meillä on:

0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 7

Näiden tulosten avulla tiedämme, että:

X (keskiarvo) = 2,25
Y (mediaani) = 2
Z (tila) = 0

Eli Z

Vaihtoehto: e) Z

Katso myös:

• Grafiikkatyypit
• Keskihajonta
• Tilastot - Harjoitukset
• Matematiikka Enemissä