Kaikki 2. asteen yhtälöstä

THE toisen asteen yhtälö saa nimensä, koska se on polynomiyhtälö, jonka korkeimman asteen termi on neliö. Kutsutaan myös toisen asteen yhtälöksi, sitä edustaa:

kirves² + bx + c = 0

2. asteen yhtälössä x on tuntematon ja edustaa tuntematonta arvoa. jo sanoitukset , B ja ç kutsutaan yhtälökertoimiksi.

Kertoimet ovat reaalilukuja ja kertoimet sen on oltava eri kuin nolla, muuten siitä tulee 1. asteen yhtälö.

Toisen asteen yhtälön ratkaiseminen tarkoittaa todellisten arvojen etsimistä x, jotka tekevät yhtälöstä totta. Näitä arvoja kutsutaan yhtälön juuriksi.

Neliöyhtälöllä on korkeintaan kaksi todellista juurta.

Täydelliset ja keskeneräiset lukion yhtälöt

2. asteen yhtälöt saattaa loppuun ovat niitä, joilla on kaikki kertoimet, toisin sanoen a, b ja c eroavat nollasta (a, b, c ≠ 0).

Esimerkiksi 5x-yhtälö² + 2x + 2 = 0 on täydellinen, koska kaikki kertoimet eivät ole nollia (a = 5, b = 2 ja c = 2).

Neliöyhtälö on epätäydellinen kun b = 0 tai c = 0 tai b = c = 0. Esimerkiksi kaksinkertainen yhtälö² = 0 on epätäydellinen, koska a = 2, b = 0 ja c = 0

Ratkaistut harjoitukset

1) Määritä arvot x jotka tekevät yhtälöstä 4x² - 16 = 0 totta.

Ratkaisu:

Annettu yhtälö on epätäydellinen toisen asteen yhtälö, jossa b = 0. Tämän tyyppisille yhtälöille voimme ratkaista eristämällä x. Täten:

Huomaa, että 4: n neliöjuuri voi olla 2 ja - 2, koska nämä kaksi neliölukua johtavat 4: ään.

Joten 4x-yhtälön juuret² - 16 = 0 ovat x = - 2 ja x = 2

2) Etsi x: n arvo siten, että alla olevan suorakulmion pinta-ala on yhtä suuri kuin 2.

Ratkaisu:

Suorakulmion pinta-ala saadaan kertomalla pohja korkeudella. Joten meidän on kerrottava annetut arvot ja yhtä suuri kuin 2.

(x - 2). (x - 1) = 2

Kerrotaan nyt kaikki termit:

x. x - 1. x - 2. x - 2. (- 1) = 2
x² - 1x - 2x + 2 = 2
x² - 3x + 2 - 2 = 0
x² - 3x = 0

Kertojen ja yksinkertaistusten ratkaisemisen jälkeen löydämme epätäydellisen asteen yhtälön, jossa c = 0.

Tämän tyyppinen yhtälö voidaan ratkaista tekijä, koska x toistetaan molemmilla termeillä. Joten aiomme todistaa sen.

x. (x - 3) = 0

Jotta tuote olisi yhtä suuri kuin nolla, joko x = 0 tai (x - 3) = 0. Kuitenkin korvaa x nollalla sivujen mitat ovat negatiivisia, joten tämä arvo ei ole vastaus kysymykseen.

Joten meillä on, että ainoa mahdollinen tulos on (x - 3) = 0. Tämän yhtälön ratkaiseminen:

x - 3 = 0
x = 3

Tällä tavoin arvo x niin, että suorakulmion pinta-ala on 2 x = 3.

Bhaskaran kaava

Kun asteen yhtälö on valmis, käytämme Bhaskaran kaava löytää yhtälön juuret.

Kaava on esitetty alla:

Delta-kaava

Bhaskaran kaavassa kreikkalainen kirjain näkyy Δ (delta), jota kutsutaan yhtälön erottelijaksi, koska sen arvon perusteella on mahdollista tietää yhtälön juurien määrä.

Delta lasketaan seuraavalla kaavalla:

Askel askeleelta

Ratkaistaksemme toisen asteen yhtälön Bhaskaran kaavaa käyttämällä meidän on noudatettava näitä vaiheita:

1. askel: Tunnista kertoimet , B ja ç.

Yhtälön termit eivät aina näy samassa järjestyksessä, joten on tärkeää tietää, miten kertoimet tunnistetaan riippumatta siitä, missä järjestyksessä ne ovat.

kerroin on numero, joka menee x: n kanssa², O B on numero, joka seuraa x se on ç on riippumaton termi, toisin sanoen luku, joka näkyy ilman x: ää.

2. vaihe: Laske delta.

Juurien laskemiseksi on tiedettävä delta-arvo. Tätä varten korvataan kaavan kirjaimet kerroinarvoilla.

Delta-arvosta voimme tietää etukäteen 2. asteen yhtälön juurien määrän. Eli jos Δ: n arvo on suurempi kuin nolla (Δ > 0), yhtälöllä on kaksi todellista ja erillistä juurta.

Jos päinvastoin, delta on alle nolla (Δ), yhtälöllä ei ole todellisia juuria, ja jos se on yhtä suuri kuin nolla (Δ = 0), yhtälöllä on vain yksi juuri.

3. vaihe: Laske juuret.

Jos deltalle löydetty arvo on negatiivinen, sinun ei tarvitse enää tehdä laskelmia ja vastaus on, että yhtälöllä ei ole todellisia juuria.

Jos delta-arvo on yhtä suuri tai suurempi kuin nolla, meidän on korvattava kaikki kirjaimet niiden arvoilla Bhaskaran kaavassa ja laskettava juuret.

Harjoitus ratkaistu

Määritä kaksinkertaisen yhtälön juuret² - 3x - 5 = 0

Ratkaisu:

Tämän ratkaisemiseksi meidän on ensin tunnistettava kertoimet, joten meillä on:
a = 2
b = - 3
c = - 5

Nyt voimme löytää delta-arvon. Meidän on oltava varovaisia ​​merkkien sääntöjen suhteen ja muistettava, että meidän on ensin ratkaistava potentiointi ja kertolasku sekä sitten summaaminen ja vähentäminen.

Δ = (- 3)² - 4. (- 5). 2 = 9 +40 = 49

Koska löydetty arvo on positiivinen, löydämme juurille kaksi erillistä arvoa. Joten meidän on ratkaistava Bhaskaran kaava kahdesti. Joten meillä on:

Joten kaksinkertaisen yhtälön juuret² - 3x - 5 = 0 ovat x = 5/2 ja x = - 1.

2. asteen yhtälöjärjestelmä

Kun haluamme löytää kahden eri tuntemattoman arvon, jotka tyydyttävät samanaikaisesti kaksi yhtälöä, meillä on a yhtälöjärjestelmä.

Järjestelmän muodostavat yhtälöt voivat olla 1. ja 2. astetta. Tällaisen järjestelmän ratkaisemiseksi voimme käyttää korvausmenetelmää ja lisäysmenetelmää.

Harjoitus ratkaistu

Ratkaise järjestelmä alla:

Ratkaisu:

Järjestelmän ratkaisemiseksi voimme käyttää lisäysmenetelmää. Tässä menetelmässä lisätään samanlaiset termit 1. yhtälöstä 2. yhtälön termien kanssa. Joten pelkistämme järjestelmän yhdeksi yhtälöksi.

Voimme edelleen yksinkertaistaa kaikkia yhtälön termejä 3: lla ja tuloksena on yhtälö x² - 2x - 3 = 0. Ratkaisemalla yhtälö meillä on:

Δ = 4 - 4. 1. (- 3) = 4 + 12 = 16

Löydettyämme x-arvot emme saa unohtaa, että meidän on vielä löydettävä y-arvot, jotka tekevät järjestelmästä totta.

Voit tehdä tämän korvaamalla vain yhdelle yhtälöstä arvot, jotka löytyvät x: lle.

y₁ - 6. 3 = 4
y₁ = 4 + 18
y₁ = 22

y₂ - 6. (-1) = 4
y₂ + 6 = 4
y₂ = - 2

Siksi ehdotettua järjestelmää tyydyttävät arvot ovat (3, 22) ja (-1, - 2)

Saatat myös olla kiinnostunut Ensimmäisen asteen yhtälö.

Harjoitukset

Kysymys 1

Ratkaise täydellinen neliöyhtälö Bhaskaran kaavaa käyttämällä:

2x² + 7x + 5 = 0

Katso Vastaus

Ensinnäkin on tärkeää tarkkailla kutakin yhtälön kerrointa, joten:

a = 2
b = 7
c = 5

Yhtälön erottelukaavan avulla meidän on löydettävä Δ: n arvo.

Tämän tarkoituksena on löytää yhtälön juuret myöhemmin yleisen kaavan tai Bhaskaran kaavan kautta:

Δ = 7² – 4. 2. 5
Δ = 49 - 40
Δ = 9

Huomaa, että jos Δ: n arvo on suurempi kuin nolla (Δ > 0), yhtälöllä on kaksi todellista ja erillistä juurta.

Joten löydettyämme Δ korvataan se Bhaskaran kaavassa:

Siksi kahden todellisen juuren arvot ovat: x₁ = - 1 ja x₂ = - 5/2

Katso lisää kysymyksiä osoitteessa Lukion yhtälö - Harjoitukset

kysymys 2

Ratkaise epätäydelliset toisen asteen yhtälöt:

a) 5x² - x = 0

Katso Vastaus

Ensin etsimme yhtälön kertoimet:

a = 5
b = - 1
c = 0

Se on epätäydellinen yhtälö, jossa c = 0.

Sen laskemiseen voidaan käyttää kerrointa, joka tässä tapauksessa asettaa x todisteeksi.

5x² - x = 0
x. (5x-1) = 0
Tässä tilanteessa tulo on yhtä suuri kuin nolla, kun x = 0 tai kun 5x -1 = 0. Joten lasketaan x: n arvo:

Joten yhtälön juuret ovat x₁ = 0 ja x₂ = 1/5.

b) 2x² – 2 = 0

Katso Vastaus

a = 2
b = 0
c = - 2

Se on epätäydellinen toisen asteen yhtälö, jossa b = 0, sen laskeminen voidaan tehdä eristämällä x:

x₁ = 1 ja x₂ = - 1

Joten yhtälön kaksi juurta ovat x₁ = 1 ja x₂ = - 1

c) 5x² = 0

Katso Vastaus

a = 5
b = 0
c = 0

Tässä tapauksessa epätäydellisessä yhtälössä kertoimet b ja c ovat nollia (b = c = 0):

Siksi tämän yhtälön juurilla on arvot x₁ = x₂ = 0

Jos haluat lisätietoja, lue myös:

• Toissijainen funktio
• Summa ja tuote
• epätasa-arvo
• irrationaaliset yhtälöt
• Parabolan kärki