Numeeriset joukot: luonnollinen, kokonaisluku, järkevä, irrationaalinen ja todellinen

Sinä numeeriset joukot ne tuovat yhteen useita sarjoja, joiden elementit ovat numeroita. Ne muodostuvat luonnollisista, kokonaisluvuista, rationaalisista, irrationaalisista ja reaaliluvuista. Numerojoukkoja tutkiva matematiikan haara on joukko-teoria.

Tarkista alla kunkin ominaisuuden ominaisuudet, kuten käsite, symboli ja osajoukot.

Luonnollisten numeroiden sarja (N)

Sarja luonnolliset luvut on N. Se kerää numerot, joita käytämme laskemiseen (nolla mukaan lukien) ja on ääretön.

Luonnollisten numeroiden osajoukot

• N * = {1, 2, 3, 4, 5..., n, ...} tai N * = N - {0}: nollasta poikkeavien luonnollisten numeroiden joukot, eli ilman nollaa.
• N_P = {0, 2, 4, 6, 8..., 2n, ...}, missä n ∈ N: parillisten luonnollisten numeroiden joukko.
• N_i = {1, 3, 5, 7, 9..., 2n + 1, ...}, missä n ∈ N: parittomien luonnollisten numeroiden joukko.
• P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, ...}: alkulukujen joukko.

Kokonaisjoukot (Z)

Sarja kokonaislukuja on Z. Se yhdistää kaikki luonnollisten lukujen (N) elementit ja niiden vastakohdat. Siten päätellään, että N on Z: n (N ⊂ Z) osajoukko:

Kokonaislukujen alaryhmät

• Z * = {..., –4, –3, –2, –1, 1, 2, 3, 4, ...} tai Z * = Z - {0}: nollasta poikkeavien kokonaislukujen joukot, ts. Ilman nolla.
• Z₊ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}: kokonaisluku- ja ei-negatiivisten numeroiden joukko. Huomaa, että Z₊ = Ei.
• Z^*₊= {1, 2, 3, 4, 5, ...}: positiivisten kokonaislukujen joukko ilman nollaa.
• Z _– = {..., –5, –4, –3, –2, –1, 0}: joukko ei-positiivisia kokonaislukuja.
• Z^*_–= {..., –5, –4, –3, –2, –1}: negatiivisten kokonaislukujen joukko ilman nollaa.

Rationaalilukujen joukko (Q)

Sarja järkevät luvut on Q. Kerää kaikki numerot, jotka voidaan kirjoittaa muodossa p / q, ollessa P ja mitä kokonaisluvut ja q ≠ 0.

Q = {0, ± 1, ± 1/2, ± 1/3,..., ± 2, ± 2/3, ± 2/5,..., ± 3, ± 3/2, ± 3 / 4, ...}

Huomaa, että jokainen kokonaisluku on myös järkevä luku. Joten Z on Q: n osajoukko.

Rationaalilukujen alajoukot

• Q * = ei-nollan rationaalilukujen osajoukko, jonka muodostavat rationaaliluvut ilman nollaa.
• Q₊ = ei-negatiivisten rationaalilukujen osajoukko, jonka muodostavat positiiviset rationaaliluvut ja nolla.
• Q^*₊ = positiivisten rationaalilukujen osajoukko, jonka muodostavat positiiviset rationaaliluvut, ilman nollaa.
• Q_– = ei-positiivisten rationaalilukujen osajoukko, jonka muodostavat negatiiviset rationaaliluvut ja nolla.
• Q *_– = negatiivisten rationaalilukujen osajoukko, muodostetut negatiiviset rationaaliluvut, ilman nollaa.

Irrationaalisten numeroiden joukko (I)

Sarja irrationaaliset luvut on Minä. Kerää epätarkat desimaaliluvut äärettömällä, jaksottaisella esityksellä, esimerkiksi: 3.141592... tai 1.203040 ...

On tärkeää huomata, että määräajoin kymmenykset ne ovat järkeviä eikä irrationaalisia lukuja. Ne ovat desimaalilukuja, jotka toistuvat pilkun jälkeen, esimerkiksi: 1.3333333 ...

Todellisten numeroiden joukko (R)

Sarja reaaliluvut on R. Tämän joukon muodostavat rationaaliset (Q) ja irrationaaliset (I) luvut. Siten meillä on, että R = Q ∪ I. Lisäksi N, Z, Q ja I ovat R: n osajoukkoja.

Mutta huomaa, että jos reaaliluku on järkevä, se ei voi olla myös irrationaalinen. Samoin, jos hän on irrationaalinen, hän ei ole järkevä.

Reaalilukujen alajoukot

• R^*= {x ∈ R│x ≠ 0}: reaalilukujen nollasta poikkeava joukko.
• R₊= {x ∈ R│x ≥ 0}: ei-negatiivisten reaalilukujen joukko.
• R^*₊= {x ∈ R│x> 0}: positiivisten reaalilukujen joukko.
• R_– = {x ∈ R│x ≤ 0}: ei-positiivisten reaalilukujen joukko.
• R^*_– = {x ∈ R│x

Lue myös Numerot: mitä ne ovat, historia ja joukot.

Numeeriset alueet

On jopa osajoukko, joka liittyy reaalilukuihin, joita kutsutaan intervalleiksi. olla ja B reaaliluvut ja reaaliaikaisesti:

äärimmäisen avoin alue:] a, b [= {x ∈ R│a

Suljettu ääripäiden alue: [a, b] = {x ∈ R│a ≤ x ≤ b}

Avoin alue oikealle (tai vasemmalle suljettuna) äärimmäisyydet: [a, b [= {x ∈ R│a ≤ x

vasen avoin alue (tai suljettu oikealle) äärimmäisyyksiä:] a, b] = {x ∈ R│a

Numeeristen sarjojen ominaisuudet

Kaavio numeerisista sarjoista

Numeeristen ryhmien tutkimusten helpottamiseksi alla on joitain niiden ominaisuuksista:

• Luonnollisten lukujen joukko (N) on joukko kokonaislukuja: Z (N ⊂ Z).
• Kokonaislukujoukko (Z) on rationaalilukujen osajoukko: (Z ⊂ Q).
• Rationaalilukujoukko (Q) on reaalilukujen (R) osajoukko.
• Luonnollisten (N), kokonaislukujen (Z), rationaalisten (Q) ja irrationaalisten (I) joukot ovat reaalilukujen (R) osajoukkoja.

Valintakokeen harjoitukset palautteella

1. (UFOP-MG) Lukujen a = 0,49999 suhteen... ja b = 0,5, on oikein sanoa:

a) b = a + 0,0111111
b) a = b
ç) on irrationaalinen ja B se on järkevää
antaa

Katso Vastaus

Vaihtoehto b: a = b

2. (UEL-PR) Huomaa seuraavat numerot:

I. 2,212121...
II. 3,212223...
III. π/5
IV. 3,1416
V. √– 4

Tarkista vaihtoehto, joka tunnistaa irrationaaliluvut:

a) I ja II.
b) I ja IV.
c) II ja III.
d) II ja V.
e) III ja V.

Katso Vastaus

Vaihtoehto c: II ja III.

3. (Cefet-CE) Sarja on yhtenäinen:

a) {x ∈ Z│x b) {x ∈ Z│x² > 0}
c) {x ∈ R│x² = 1}
d) {x ∈ Q│x² e) {x ∈ N│1

Katso Vastaus

Vaihtoehto e: {x ∈ N│1

Lue myös:

• Joukko-teoria
• Monimutkaiset numerot
• Toiminnot sarjoilla
• Harjoitukset sarjoissa
• Numeeriset joukkueharjoitukset
• Harjoitukset monimutkaisilla numeroilla