1. ja 2. asteen eriarvoisuus: miten ratkaista ja harjoitella

Epäyhtälö on matemaattinen lause, jolla on ainakin yksi tuntematon arvo (tuntematon) ja joka edustaa eriarvoisuutta.

Eriarvoisuuksissa käytämme symboleja:

• > suurempi kuin
• ≥ suurempi tai yhtä suuri
• ≤ pienempi tai yhtä suuri

Esimerkkejä

a) 3x - 5> 62
b) 10 + 2x ≤ 20

Ensimmäisen asteen eriarvoisuus

Eriarvoisuus on 1. astetta, kun tuntemattoman suurin eksponentti on yhtä suuri kuin 1. Ne voivat olla seuraavissa muodoissa:

• ax + b> 0
• kirves + b
• ax + b ≥ 0
• ax + b ≤ 0

Oleminen ja B reaaliluvut ja ≠ 0

Ensimmäisen asteen eriarvoisuuden korjaaminen.

Tällaisen eriarvoisuuden ratkaisemiseksi voimme tehdä sen samalla tavalla kuin yhtälöissä.

Meidän on kuitenkin oltava varovaisia, kun tuntematon muuttuu negatiiviseksi.

Tässä tapauksessa meidän on kerrottava (-1): llä ja käännettävä eriarvoisuuden symboli.

Esimerkkejä

a) Ratkaise eriarvoisuus 3x + 19

Eriarvoisuuden ratkaisemiseksi meidän on eristettävä x siirtämällä 19 ja 3 epätasa-arvon toiselle puolelle.

Muista, että vaihtaessamme sivuja meidän on muutettava toimintaa. Siten 19, joka lisäsi, kulkee laskussa ja 3, joka lisääntyi, kulkee jakamalla.

3xxx

b) Kuinka ratkaista eriarvoisuus 15 - 7x ≥ 2x - 30?

Kun eriarvoisuuden molemmin puolin on algebrallisia termejä (x), meidän on liitettävä ne samalla puolella.
Näin tekemällä puolta vaihtavien numeroiden merkki muuttuu.

15 - 7x ≥ 2x - 30
- 7x - 2x ≥ - 30-15
- 9x ≥ - 45

Kerrotaan nyt koko eriarvoisuus (-1). Tätä varten muutamme kaikkien ehtojen merkkiä:

9x ≤ 45 (huomaa, että käännämme symbolin ≥ arvoon ≤)
x ≤ 45/9
x ≤ 5

Siksi ratkaisu tähän eriarvoisuuteen on x ≤ 5.

Resoluutio epätasa-arvokaavion avulla

Toinen tapa ratkaista eriarvoisuus on piirtää se suorakulmaiseen tasoon.

Kaaviossa tutkitaan epätasa-arvon merkkiä tunnistamalla mitkä arvot x muuttaa epätasa-arvo todelliseksi lauseeksi.

Eriarvoisuuden ratkaisemiseksi tällä menetelmällä meidän on noudatettava vaiheita:

1.) Laita kaikki eriarvoisuuden ehdot samalla puolelle.
2º) Korvaa eriarvoisuuden merkki tasa-arvon merkillä.
3.) Ratkaise yhtälö, eli etsi sen juuret.
4.) Tutki yhtälön merkkiä tunnistamalla arvot x jotka edustavat eriarvoisuuden ratkaisua.

Esimerkki

Ratkaise eriarvoisuus 3x + 19

Ensinnäkin kirjoitetaan eriarvoisuus kaikkien termien kanssa eriarvoisuuden toiselle puolelle:

3x + 19-40 3x - 21

Tämä lauseke osoittaa, että eriarvoisuuden ratkaisu on x: n arvot, jotka tekevät eriarvoisuuden negatiiviseksi (

Etsi yhtälön juuret 3x - 21 = 0

x = 21/3
x = 7 (yhtälön juuri)

Esittäkää suorakulmion tasossa pisteparit, jotka löytyivät korvaamalla arvot x yhtälössä. Tämän tyyppisen yhtälön kaavio on a suoraan.

Tunnistimme, että arvot

Toisen asteen eriarvoisuus

Eriarvoisuus on 2. astetta, kun tuntemattoman suurin eksponentti on yhtä suuri kuin 2. Ne voivat olla seuraavissa muodoissa:

• kirves² + bx + c> 0
• kirves² + bx + c
• kirves² + bx + c ≥ 0
• kirves² + bx + c ≤ 0

Oleminen , B ja ç reaaliluvut ja ≠ 0

Voimme ratkaista tämäntyyppisen eriarvoisuuden käyttämällä toisen asteen yhtälöä edustavaa kuvaajaa merkin tutkimiseen, aivan kuten teimme ensimmäisen asteen epätasa-arvon suhteen.

Muista, että tässä tapauksessa graafinen kuva on a vertaus.

Esimerkki

Ratkaise eriarvoisuus x² - 4x - 4

Toisen asteen eriarvoisuuden ratkaisemiseksi on löydettävä arvot, joiden ilmaisu merkin vasemmalla puolella

Tunnista ensin kertoimet:

a = 1
b = - 1
c = - 6

Käytämme Bhaskaran kaava (Δ = b² - 4ac) ja korvataan kertoimien arvot:

Δ = (- 1)² - 4. 1. (- 6)
Δ = 1 + 24
Δ = 25

Jatkamalla Bhaskaran kaavaa, korvattiin jälleen kertoimiemme arvoilla:

x = (1 ± √25) / 2
x = (1 ± 5) / 2

x₁ = (1 + 5)/ 2
x₁ = 6 / 2
x₁ = 3

x₂ = (1 - 5) / 2
x₁ = - 4 / 2
x₁ = - 2

Yhtälön juuret ovat -2 ja 3. kuten toisen asteen yhtälön positiivinen, sen kaavion koveruus on ylöspäin.

Kaaviosta havaitaan, että eriarvoisuuden tyydyttävät arvot ovat: - 2

Voimme ilmoittaa ratkaisun seuraavalla merkinnällä:

Lue myös:

• Ensimmäisen asteen yhtälö
• Toisen asteen yhtälö
• Yhtälöjärjestelmät

Harjoitukset

1. (FUVEST 2008) Lääketieteellisen suosituksen mukaan henkilön on noudatettava ruokavaliota, joka takaa päivittäin vähintään 7 milligrammaa A-vitamiinia ja 60 mikrogrammaa D-vitamiinia ja ruokitaan yksinomaan erityisellä jogurtilla ja viljaseoksella, paketteja.

Jokainen litra jogurttia sisältää 1 milligramman A-vitamiinia ja 20 mikrogrammaa D-vitamiinia. Jokainen pakkaus viljaa sisältää 3 milligrammaa A-vitamiinia ja 15 mikrogrammaa D-vitamiinia.

Kuluttamalla päivittäin x litraa jogurttia ja y-paketteja viljaa, henkilö noudattaa varmasti ruokavaliota, jos:

a) x + 3y ≥ 7 ja 20x + 15y ≥ 60
b) x + 3y ≤ 7 ja 20x + 15y ≤ 60
c) x + 20v ≥ 7 ja 3x + 15v ≥ 60
d) x + 20y ≤ 7 ja 3x + 15y ≤ 60
e) x + 15y ≥ 7 ja 3x + 20y ≥ 60

Katso Vastaus

Vaihtoehto: x + 3y ≥ 7 ja 20x + 15y ≥ 60

2. (UFC 2002) Kaupunkia palvelee kaksi puhelinyhtiötä. Yritys X veloittaa kuukausitilaus 35,00 R $ plus 0,50 R $ käytetty minuutti. Yritys Y veloittaa kuukaudessa 26,00 R $: n ja 0,50 R $: n tilauksen käytetystä minuutista. Kuinka monen minuutin käytön jälkeen yrityksen X suunnitelma on asiakkaille edullisempi kuin yrityksen Y suunnitelma?

Katso Vastaus

26 + 0,65 m> 35 + 0,5 m
0,65 m - 0,5 m> 35-26
0,15 m> 9
m> 9 / 0,15
m> 60

60 minuutin jälkeen yrityksen X-suunnitelma on edullisempi.