Polynomit ovat algebrallisia lausekkeita, jotka muodostavat numerot (kertoimet) ja kirjaimet (kirjaimelliset osat). Polynomin kirjaimet edustavat lausekkeen tuntemattomia arvoja.
Esimerkkejä
a) 3ab + 5
b) x3 + 4xy - 2x2y3
c) 25x2 - 9v2
Monomium, binomi ja trinomi
Polynomit koostuvat termeistä. Ainoa operaatio termien elementtien välillä on kertolasku.
Kun polynomilla on vain yksi termi, sitä kutsutaan a yksivärinen.
Esimerkkejä
a) 3x
b) 5bc
c) x2y3z4
puhelut binomiaalit ovat polynomeja, joissa on vain kaksi monomealia (kaksi termiä), erotettuna yhteenlasku- tai vähennysoperaatiolla.
Esimerkkejä
a) -2 - B2
b) 3x + y
c) 5ab + 3cd2
jo trinomiaalit ovat polynomeja, joissa on kolme monomealia (kolme termiä), erotettuna yhteenlasku- tai vähennysoperaatioilla.
Esimerkkis
a) x2 + 3x + 7
b) 3ab - 4xy - 10v
c) m3n + m2 + n4
Polynomien aste
Polynomin asteen antavat kirjaimellisen osan eksponentit.
Polynomin asteen löytämiseksi meidän on lisättävä jokaisen termin muodostavien kirjainten eksponentit. Suurin summa on polynomin aste.
Esimerkkejä
a) 2x3 + y
Ensimmäisen termin eksponentti on 3 ja toinen termi on 1. Koska suurin on 3, polynomin aste on 3.
b) 4x2y + 8x3y3 - xy4
Lisätään jokaisen termin eksponentit:
4x2y => 2 + 1 = 3
8x3y3 => 3 + 3 = 6
xy4 => 1 + 4 = 5
Koska suurin summa on 6, polynomin aste on 6
Merkintä: nollapolynomi on sellainen, jonka kaikki kertoimet ovat nolla. Kun tämä tapahtuu, polynomin astetta ei ole määritelty.
Operaatiot polynomien kanssa
Katso alla olevat esimerkit polynomien välisistä toiminnoista:
Polynomien lisääminen
Teemme tämän operaation lisäämällä samanlaisten termien kertoimet (sama kirjaimellinen osa).
(-7x3 + 5x2y - xy + 4y) + (-2x2y + 8xy - 7y)
- 7x3 + 5x2y - 2x2y - xy + 8xy + 4y - 7v
- 7x3 + 3x2y + 7xy - 3y
Polynominen vähennyslasku
Sulujen edessä oleva miinusmerkki kääntää suluissa olevat merkit. Sulujen poistamisen jälkeen meidän on lisättävä samanlaisia termejä.
(4x2 - 5xk + 6k) - (3x - 8k)
4x2 - 5xk + 6k - 3xk + 8k
4x2 - 8xk + 14k
Polynomien kertolasku
Laskennassa meidän on kerrottava termi termillä. Kertaamalla yhtäläiset kirjaimet eksponentit toistetaan ja lisätään.
(3x2 - 5x + 8). (-2x + 1)
-6x3 + 3x2 + 10x2 - 5x - 16x + 8
-6x3 + 13x2 - 21x +8
Polynomien jako
Merkintä: Polynomijaossa käytämme avaimenetelmää. Ensin suoritetaan numeeristen kertoimien jakaminen ja sitten saman perustan voimanjako. Tätä varten pidä perusta ja vähennä eksponentit.
Polynomifaktorointi
Suorita tekijä polynomien kohdalla meillä on seuraavat tapaukset:
Yhteinen tekijä todisteissa
ax + bx = x (a + b)
Esimerkki
4x + 20 = 4 (x + 5)
ryhmittely
ax + bx + ay + by = x. (a + b) + y. (a + b) = (x + y). (a + b)
Esimerkki
8ax + bx + 8ay + kirjoittamalla = x (8a + b) + y (8a + b) = (8a + b). (x + y)
Perfect Square Trinomial (lisäys)
2 + 2ab + b2 = (a + b)2
Esimerkki
x2 + 6x + 9 = (x + 3)2
Täydellinen neliön trinomi (ero)
2 - 2ab + b2 = (a - b)2
Esimerkki
x2 - 2x + 1 = (x - 1)2
Kahden neliön ero
(a + b). (a - b) = a2 - B2
Esimerkki
x2 - 25 = (x + 5). (x - 5)
Täydellinen kuutio (lisäys)
3 + 3.2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3
Esimerkki
x3 + 6x2 + 12x + 8 = x3 + 3. x2. 2 + 3. x. 22 + 23 = (x + 2)3
Täydellinen kuutio (ero)
3 - 3.2b + 3ab2 - B3 = (a - b)3
Esimerkki
y3 - 9v2 + 27v - 27 = v3 - 3. y2. 3 + 3. y. 32 - 33 = (y - 3)3
Lue myös:
- Merkittäviä tuotteita
- Merkittävät tuotteet - Harjoitukset
- Polynomitoiminto
Ratkaistut harjoitukset
1) Luokittele seuraavat polynomit monomalleiksi, binomeiksi ja trinomeiksi:
a) 3abcd2
b) 3a + bc - d2
c) 3ab - cd2
a) monomium
b) trinomi
c) binomi
2) Ilmoita polynomien aste:
a) xy3 + 8xy + x2y
b) 2x4 + 3
c) ab + 2b + a
d) zk7 - 10z2k3w6 + 2x
a) palkkaluokka 4
b) palkkaluokka 4
c) luokka 2
d) luokka 11
3) Mikä on alla olevan kuvan kehäarvo:
Kuvan kehä löytyy lisäämällä kaikki sivut.
2x3 + 4 + 2x3 + 4 + x3 + 1 + x3 + 1 + x3 + 1 + x3 + 1 = 8x3 + 12
4) Etsi kuvan alue:
Suorakulmion pinta-ala saadaan kertomalla pohja korkeudella.
(2x + 3). (x + 1) = 2x2 + 5x + 3
5) Kerro polynomit
a) 8ab + 2a2b - 4b2
b) 25 + 10v + y2
c) 9 - k2
a) Koska on olemassa yleisiä tekijöitä, ota huomioon laskemalla nämä tekijät näyttöön:
b) Täydellinen neliön muotoinen kolmiulotteinen: (5 + y)2
c) Kaksi neliöeroa: (3 + k). (3 - k)
Katso myös: Algebralliset lausekkeet ja Harjoituksia algebrallisilla lausekkeilla
