Kartiose on geometrinen kuvio muodostuu pyöreän alueen liittymisestä pisteeseen, joka ei kuulu kyseiseen tasoon. Voimme nähdä sen myös nimellä vallankumous vankka, eli kääntämällä a kolmio suorakulmio jalkojensa ympärille, avaruuteen muodostuu kartio.
Vaikka he viittaavat meihin pyramidit, näemme, että kartioilla ei ole yhtä monta elementtiä kuin niillä, esimerkiksi: reunat, aukot tai kasvot.
Lue myös: Geometrisen kiinteän aineen mitat: opi, mitä ne ovat
Mikä on kartio?
Tarkastellaan ympyrää A, joka on tasossa, ja pistettä P, joka ei kuulu kyseiseen tasoon. Tämän perusteella, kartio on kaikkien segmenttien yhdistys, jonka päät ovat kohdissa A ja P..
Kuvake-elementit
Harkitse seuraavaa kartiota tarkastellaksesi sen elementtejä.
- Kartion pohja: tason ympyrä keskellä O ja säde r.
- Kartiopiste: kohta P.
- Kartion korkeus: h, kartion kärjen ja pohjan välinen etäisyys. Muista, että korkeus on aina kohtisuorassa alustaa sisältävään tasoon nähden, eli korkeuden ja pohjan välisen kulman on oltava 90 °.
- Generatrix: g, mikä tahansa viivasegmentti, joka yhdistää kärjen pohjaympyrän toiseen päähän.
Kartioiden luokitus
Kartiot luokitellaan kahteen ryhmään: suorat kartiot ja viistot kartiot. Oletetaan, että kartio on suora, kun sen kärjen projektio osuu alustan keskustaan, ts. ympärysmitta, katso kuva.
Huomaa suorassa kartiossa, että generatriisin mitat ovat aina samat ja huomaa, että POB muodostaa a suorakulmainen kolmio, siis siinä siinä Pythagoraan lause se on voimassa.
(PB)2 = (PO)2 + (OB)2
g2 = h2 + r2
Muussa tapauksessa kartiota kutsutaan viistoksi.
Kun suorassa kartiossa sen sisään muodostettu kolmio on tasasivuinen, se on noin a tasasivuinen kartio, ja generatriisin arvo on kaksinkertainen säde, eli:
g = 2 · r
kartion alue
Kartion pinta-ala määritetään vankka suunnittelu, ja, kuten pyramideissa, kiintoaineen kokonaispinta-ala saadaan sivupinnan (Asiellä) peruspinta-alan (AB), täten:
Koska pohja on ympyrä, sen pinta-ala on:
THEB = π. r2
Siinä r on mitan arvo salama r ympärysmitta.
Sivupinta-ala on pyöreä sektori ja se löytyy kahdella tavalla, katso:
Sivupinta pyöreän sektorin kulmasta riippuen
THEsiellä = θ. g2
2
Siinä kulma q on sektorin keskikulma radiaaneina mitattuna ja g on generatriisin mitta.
Sivualue pyöreän sektorin kaaren pituuden funktiona
THEsiellä = π. a. g
Siinä r on lateraalialueen säteen mitta ja g, generatriisin mitta.
Siksi kartion pinta-ala saadaan:
THEkartio = AB + Asiellä
THEkartio = pir2 + πrg
THEkartio = πr (g + r)
kartion tilavuus
Kartion tilavuus riippuu myös pohja-alueesta ja kartion korkeudesta, katso:
Kartion tilavuuden kaava saadaan:
Vkartio = pir2H
3
Tietää enemmän: Kuution ja suuntaissärmiön tilavuus: opi laskemaan
ratkaistut harjoitukset
Kysymys 1 - Suorassa kartiossa on generatriisi, joka on 5 cm ja korkeus 3 cm. Määritä tämän kartion kokonaispinta-alan ja tilavuuden keskiarvot.
Ratkaisu
Aluksi piirrämme tämän kartion toimitetuilla tiedoilla.
Kartion pinta-alan ja tilavuuden arvon löytämiseksi on ensin määritettävä alustan säde-arvo. Tätä varten käytämme Pythagoraan teoreemaa.
52 = 32 + r2
25 = 9 + r2
25 - 9 = r2
r2 = 16
r = 4 cm
Pinta-ala ja tilavuus ovat vastaavasti:
THEkartio = πr (g + r) ⇒ Akartio = 4π (5 + 4) ⇒ Akartio = 36π cm2
Vkartio = pir2H ⇒ Vkartio = π423 ⇒ Vkartio = 16π cm3
3 3
