Perustimme ammatti kun yhdistämme yhden tai useamman määrän. Osa luonnonilmiöistä voidaan tutkia tämän matematiikan kehityksen ansiosta. Funktioiden tutkimus on jaettu kahteen osaan, meillä on yleinen osa, jossa tutkitaan käsitteitäyleinen, ja sen osan, jossa tutkitaan erityistapauksissa, kuten polynomi- ja eksponenttifunktiot.
Katso myös: Kuinka piirtää funktio?
Mitä toiminnot ovat?
Funktio on sovellus, joka liittyy kahden elementtiin sarjat ei tyhjä. Tarkastellaan kahta ei-tyhjää joukkoa A ja B, joissa funktio f liittyvät kukin elementti A: sta kohtaan Vain yksi osa B.
Kuvittele taksimatka ymmärtääksesi paremmin tämän määritelmän. Jokaiselle matkalle, ts. Jokaiselle ajetulle matkalle, on erilainen ja ainutlaatuinen hinta, toisin sanoen matkalle ei ole järkevää, että hinta on kaksi erilaista.
Voimme edustaa tätä funktiota, joka vie elementit joukosta A sarjaan B seuraavilla tavoilla.
Huomaa, että joukon A jokaiselle elementille on a yksi liittyvä elementti hänen kanssaan sarjassa B. Nyt voimme loppujen lopuksi ajatella, milloin kahden ryhmän välinen suhde ei ole funktio? No, kun joukko A: n elementti liittyy kahteen erilliseen B: n elementtiin tai kun joukossa A on elementtejä, jotka eivät liity B: n elementteihin. Katso:
Yleisesti ottaen voimme kirjoittaa funktion algebrallisesti näin:
f: A → B
x → y
Huomaa, että funktio ottaa elementit joukosta A (edustaa x) ja vie ne B: n elementteihin (edustaa y). Voimme myös sanoa, että joukon B elementit annetaan joukon A elementteinä, joten voimme edustaa y: tä:
y = f(x)
Se kuuluu: (y on yhtä kuin f x: stä)
Roolin toimialue, yhteisverkkotunnus ja kuva
Kun meillä on rooli f, toisiinsa liittyville ryhmille annetaan erityisnimet. Joten harkitse toimintoa f joka vie elementit joukosta A elementteihin joukosta B:
f: A → B
Joukkoa A, josta suhteet poikkeavat, kutsutaan verkkotunnus funktion ja joukkoa, joka vastaanottaa tämän suhteen "nuolet", kutsutaan vasta-verkkotunnus. Merkitsemme nämä sarjat seuraavasti:
D.f = A → Verkkotunnus f
CDf = B → Vastaverkkotunnus f
Joukon elementteihin liittyvien elementtien muodostaman funktion vastaverkkotunnuksen osajoukkoa kutsutaan Kuva funktion ja on merkitty seuraavalla:
Olenf → Kuva f
- Esimerkki
Harkitse funktiota f: A → B, joka on esitetty alla olevassa kaaviossa, ja määritä toimialue, vasta-alue ja kuva.
Kuten sanottu, joukko A = {1, 2, 3, 4} on funktion toimialue f, kun taas joukko B = {0, 2, 3, –1} on saman funktion vasta-alue. Huomaa nyt, että joukko, jonka muodostavat elementit, jotka vastaanottavat elementtien {0, 2, –1} muodostaman nuolen (oranssina), on vastaverkkotunnuksen B osajoukko, tämä joukko on funktion kuva f, täten:
D.f = A = {1, 2, 3, 4}
CDf = B = {0, 2, 3, -1}
Olenf = {0, 2, –1}
Sanomme, että 0 on elementtikuva 1 verkkotunnuksen sekä 2 se on kuva elementeistä 2 ja 3 verkkotunnuksen ja –1 on elementtikuva 4 verkkotunnuksen. Lue lisää näistä kolmesta käsitteestä lukemalla: D.domain, co-domain ja kuva.
Surjektiivinen toiminto
Toiminto f: A → B on surjektiivinen tai surjektiivinen vain ja vain, jos kuvajoukko on sama kuin kontradomeeni, ts. jos kaikki kontradomeenin elementit ovat kuvia.
Sanomme sitten, että funktio on surjektiivinen, kun kaikki vastakohdealueen elementit vastaanottavat nuolia. Jos haluat mennä syvemmälle tämän tyyppiseen toimintoon, käy tekstissämme: Overjet-toiminto.
Injektiivinen toiminto
Toiminto f: A → B on injektoiva tai injektoiva vain ja vain, jos verkkotunnuksen erillisillä elementeillä on erilliset kuvat vasta-alueella, eli samanlaisia kuvia luodaan samanlaisilla verkkotunnuksen elementeillä.
Huomaa, että ehtona on, että toimialueen eri elementit liittyvät vastaverkkotunnuksen eri elementteihin, eikä vasta-verkkotunnuksessa ole jäljellä olevien elementtien kanssa ongelmaa. Voit ymmärtää käsitteen paremmin lukemalla tekstin: Injektoritoiminto.
Bijector-toiminto
Toiminto f: A → B on bijektiivinen vain ja vain, jos on injektori ja surjektori samanaikaisesti, toisin sanoen toimialueen erillisillä elementeillä on erilliset kuvat, ja kuva on sama kuin vasta-alue.
- Esimerkki
Perustele kussakin tapauksessa, onko funktio f (x) = x2 se on injektori, surjektori tai bijector.
) f: ℝ+ → ℝ
Huomaa, että funktion toimialue on kaikki positiiviset reaalit ja vasta-alue ovat kaikki reaaliluvut. Tiedämme, että funktion f antaa f (x) = x2Kuvittele nyt kaikkien positiivisten reaalilukujen olevan korkea neliössä, kaikki kuvat ovat myös positiivisia. Joten voimme päätellä, että funktio on injektoiva eikä surjektiivinen, koska negatiiviset reaaliluvut eivät saa nuolia.
Se ruiskuttaa, koska kukin verkkotunnuksen elementti (ℝ+) koskee vain yhtä verkkotunnuksen (ℝ) elementtiä.
B) f: ℝ → ℝ+
Funktiolla on tässä tapauksessa toimialue kaikkien todellisten ja vastaverkkotunnuksen positiivisina todellisuuksina. Tiedämme, että mikä tahansa reaaliluku on positiivinen, joten kaikki verkkotunnuksen elementit ovat vastaanottaneet nuolia, joten funktio on surjektiivinen. Se ei ole injektio, koska verkkotunnuksen elementit liittyvät esimerkiksi vasta-alueen kahteen osaan, esimerkiksi:
f(–2) = (–2)2 = 4
f(2) = (2)2 = 4
ç) f:ℝ+ → ℝ+
Tässä esimerkissä funktiolla on toimialue ja vastakohde positiivisina reaalilukuina, joten funktio on bijector, koska jokainen positiivinen reaaliluku liittyy yhteen oikea numero positiivinen vastaverkkotunnuksesta, tässä tapauksessa luvun neliö. Lisäksi kaikki verkkotunnusten numerot saivat nuolia.
komposiittitoiminto
THE komposiittitoiminto liittyy pikakuvakeideo. Tarkastellaan kolmea ei-tyhjää sarjaa A, B ja C. Harkitse myös kahta funktiota f ja g, joissa funktio f vie elementit x joukosta A elementteihin y = f (x) joukosta B ja funktio g vie elementit y = f (x) elementteihin z joukosta C.
Yhdistetty funktio saa tämän nimen, koska se on sovellus, joka vie elementit joukosta A suoraan elementteihin joukosta C käymättä joukon B läpi funktioiden f ja g koostumuksen kautta. Katso:
Funktio, jota merkitään (f o g), vie elementit joukosta A suoraan joukkoon C. Sitä kutsutaan komposiittitoiminnoksi.
- Esimerkki
Tarkastellaan funktiota f (x) = x2 ja funktio g (x) = x + 1. Etsi yhdistetyt funktiot (f o g) (x) ja (g o f) (x).
Funktio f o g saadaan funktiosta f sovelletulla funktiolla g, toisin sanoen:
(f o g) (x) = f (g (x))
Tämän yhdistetyn funktion määrittämiseksi meidän on otettava huomioon funktio f, ja muuttujan x sijasta meidän on kirjoitettava funktio g. Katso:
x2
(x + 1)2
(f o g) (x) = f (g (x)) = x2 + 2x + 1
Samoin yhdistetyn funktion (g o f) (x) määrittämiseksi meidän on sovellettava funktiota f roolissa g, eli harkitse funktiota g ja kirjoita funktio f muuttujan tilalle. Katso:
(x + 1)
x2 + 1
Siksi yhdistetty funktio (g o f) (x) = g (f (x)) = x2 + 1.
Tasainen toiminta
Harkitse funktiota f: A → ℝ, jossa A on ei-tyhjien reaalien osajoukko. Funktio f on tasainen vain kaikille todellisille x: lle.
Esimerkki
Harkitse toimintoa f: ℝ → ℝ, antaa f (x) = x2.
Huomaa, että jos todellinen x-arvo on neliö, tulos on aina positiivinen, eli:
f (x) = x2
ja
f (–x) = (–x)2 = x2
Joten f (x) = f (–x) mille tahansa todelliselle x-arvolle, siis funktio f se on pari.
Lue myös:Teho-ominaisuudets - mitä ne ovat ja miten klo käyttääilmaa?
ainutlaatuinen toiminto
Harkitse funktiota f: A → ℝ, jossa A on ei-tyhjien reaalien osajoukko. Funktio f on pariton vain kaikille todellisille x: lle.
- Esimerkki
Harkitse toimintoa f: ℝ → ℝ, antaa f (x) = x3.
Katso, että mihin tahansa x: n arvoon voimme kirjoittaa, että (–x)3 = -x3. Katso joitain esimerkkejä:
(–2)3 = –23 = –8
(–3)3 = –33 = –27
Joten voimme sanoa, että:
f (–x) = (–x)3 = –x3
f (–x) = (–x)3 = –f (x)
Joten mihin tahansa todelliseen x f (–x) = –f (x) ja funktio f (x) = x3 on ainutlaatuinen.
kasvava toiminto
Toiminto f é kasvaa tietyin väliajoin vain ja vain, jos verkkotunnuselementtien kasvaessa myös niiden kuvat kasvavat. Katso:
Huomaa, että x1 > x2 ja sama tapahtuu kuvan kanssa, joten voimme luoda funktiolle algebrallisen ehdon f olla kasvaa.
Laskeva toiminto
Toiminto f é vähenee tietyllä aikavälillä vain ja vain, jos verkkotunnuselementtien kasvaessa niiden kuvat pienenevät. Katso:
Katso, että funktiotunnuksessa meillä on x1 > x2, mutta tätä ei tapahdu funktiokuvassa, jossa f (x1)
jatkuva toiminta
Kuten nimessä sanotaan, a toiminto on vakio milloin tahansa arvoa verkkotunnuksessa, kuvan arvo on aina sama.
liittyvä toiminto
THE affinifunktio tai ensimmäisen asteen polynomi on kirjoitettu muodossa:
f (x) = ax + b
Missä a ja b ovat reaalilukuja, a ei ole nolla, ja kaavio on viiva. Funktiolla on todellinen verkkotunnus ja myös todellinen vasta-toimialue.
asteen funktio
THE asteen funktio tai toisen asteen polynomifunktion antaa a polynomi toisen luokan, täten:
f (x) = kirves2 + bx + c
Jos a, b ja c ovat reaalilukuja, joissa ei ole nolla, ja kaavio on a vertaus. Roolilla on myös todellinen verkkotunnus ja laskuri.
modulaarinen toiminto
THE modulaarinen toiminto kanssa muuttuja x löytää-jos moduulin sisällä ja algebrallisesti se ilmaistaan:
f (x) = | x |
Funktiolla on myös todellinen toimialue ja laskuri, eli voimme laskea minkä tahansa reaaliluvun absoluuttisen arvon.
eksponentti funktio
THE eksponentti funktionäyttää muuttujan x eksponentissa. Sillä on myös todellinen verkkotunnus ja todellinen verkkotunnus, ja se kuvataan algebrallisesti:
f (x) = ax
Jossa a on suurempi kuin nolla reaaliluku.
logaritminen toiminto
THE logaritminen toiminto on muuttuja logaritmissa ja toimialue, jonka muodostavat reaaliluvut ovat suurempia kuin nolla.
Trigonometriset toiminnot
Klo trigonometriset toiminnot olla muuttuja x, johon sisältyy trigonometriset suhteet, tärkeimmät ovat:
f (x) = synti (x)
f (x) = cos (x)
f (x) = tg (x)
juuritoiminto
Juuritoiminnolle on tunnusomaista, että sillä on muuttuja juuren sisällä, tällöin, jos juurihakemisto on parillinen, funktion toimialueeksi tulee vain positiivinen reaaliluku.
kirjoittanut Robson Luiz
Matematiikan opettaja
