1500-luvun puoliväliin saakka yhtälöt kuten x2 - 6x + 10 = 0 pidettiin yksinkertaisesti "ei ratkaisuna". Tämä johtui siitä, että Bhaskaran kaavan mukaan löydettäessä tämä yhtälö löydettiin seuraava yhtälö:
Δ = (–6)2 – 4·1·10
Δ = 36 – 40
Δ = – 4
x = –(– 6) ± √– 4
2·1
x = 6 ± √– 4
2
Ongelma löydettiin luvusta √– 4, jolla ei ole ratkaisua reaalilukujen joukossa, toisin sanoen ei on reaaliluku, joka itsestään kerrottuna tuottaa √– 4, koska 2 · 2 = 4 ja (–2) (- 2) = 4.
Vuonna 1572 Rafael Bombelli oli kiireinen ratkaisemaan yhtälön x3 - 15x - 4 = 0 käyttäen Cardanon kaavaa. Tämän kaavan avulla päätellään, että tällä yhtälöllä ei ole todellisia juuria, koska se on lopulta tarpeen laskea √– 121. Muutaman yrityksen jälkeen on kuitenkin mahdollista löytää se 43 - 15 · 4 - 4 = 0 ja siksi, että x = 4 on tämän yhtälön juuri.
Ottaen huomioon todellisten juurien olemassaolon, joita Cardanon kaava ei ilmaise, Bombellilla oli ajatus olettaa että √– 121 johtaisi √ (- 11 · 11) = 11 · √– 1: seen ja tämä voisi olla yhtälön ”epärealistinen” juuri tutkittu. Siten √– 121 olisi osa uuden tyyppistä lukua, joka muodostaa tämän yhtälön muut perusteettomat juuret. Joten yhtälö x
3 - 15x - 4 = 0, jolla on kolme juurta, x = 4 todellisena juurena ja kaksi muuta juurta, jotka kuuluvat tähän uuteen numerotyyppiin.1700-luvun lopulla Gauss nimesi nämä numerot nimellä kompleksiluvut. Tuolloin monimutkaiset luvut olivat jo ottamassa muotoa a + bi, kanssa i = √– 1. Lisäksi, ja B niitä pidettiin jo karteesisen tason pisteinä, joka tunnetaan nimellä Argand-Gauss-taso. Siten kompleksiluvun Z = a + bi geometrinen esitys oli suorakulmion tason piste P (a, b).
Siksi ilmaisu "kompleksiluvut”Alettiin käyttää viitaten numeeriseen sarjaan, jonka edustajat ovat: Z = a + bi, jossa i = √– 1 ja ja B joka kuuluu reaalilukujoukkoon. Tätä esitystä kutsutaan kompleksiluvun Z algebrallinen muoto.
Koska kompleksiluvut muodostetaan kahdesta reaaliluvusta ja yksi niistä kerrotaan √– 1, näille todellisille numeroille on annettu erityinen nimi. Kun otetaan huomioon kompleksiluku Z = a + bi, a on "Z: n todellinen osa" ja b on "Z: n kuvitteellinen osa". Matemaattisesti voimme kirjoittaa vastaavasti: Re (Z) = a ja Im (Z) = b.
Ajatus kompleksiluvun moduulista kiteytyy analogisesti reaaliluvun moduulin ajatuksen kanssa. Kun piste P (a, b) on kompleksiluvun Z = a + bi geometrinen esitys, pisteen P ja pisteen (0,0) välinen etäisyys saadaan seuraavasti:
| Z | = √(2 + b2)
Toinen tapa esittää kompleksilukuja on Polaarinen tai trigonometrinen muoto. Tämä muoto käyttää kompleksiluvun moduulia rakenteeltaan. Kompleksiluku Z, algebrallisesti Z = a + bi, voidaan esittää polaarimuodossa seuraavasti:
Z = | Z | · (cosθ + icosθ)
On mielenkiintoista huomata, että suorakulmainen taso määritetään kahdella kohtisuoralla viivalla, jotka tunnetaan nimellä x- ja y-akselit. Tiedämme, että reaalilukuja voidaan esittää viivalla, johon kaikki rationaaliluvut sijoitetaan. Loput välit ovat täynnä irrationaalisia lukuja. Todelliset luvut ovat kaikki rivillä, joka tunnetaan nimellä X-akseli suorakulmion tasosta, kaikki muut tähän tasoon kuuluvat pisteet olisivat kompleksilukujen ja reaalilukujen ero. Siten reaalilukujoukko sisältyy kompleksilukujoukkoon.
Luiz Paulo Moreira
Valmistunut matematiikasta
Lähde: Brasilian koulu - https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-sao-numeros-complexos.htm
