Yksi polynomiyhtälö on tunnettu siitä, että sillä on polynomi yhtä suuri kuin nolla. Sille voidaan luonnehtia polynomin aste, ja mitä suurempi tämä aste, sitä suurempi vaikeusaste sen ratkaisun tai juuren löytämisessä.
Tässä yhteydessä on myös tärkeää ymmärtää, mikä on algebran peruslause, jonka mukaan jokaisella polynomiyhtälöllä on ainakin yksi monimutkainen ratkaisu, toisin sanoen: toisen asteen yhtälöllä on vähintään yksi ratkaisu, toisen asteen yhtälöllä on vähintään kaksi ratkaisua ja niin edelleen.
Lue myös: Mitkä ovat polynomien luokat?
Mikä on polynomiyhtälö
Polynomiyhtälölle on ominaista, että polynomi on nolla, joten jokainen tyypin P (x) = 0 lauseke on polynomiyhtälö, jossa P (x) on polynomi. Katso alla oleva yleinen tapaus polynomiyhtälöstä ja joitain esimerkkejä.
Harkitseei, an-1, a n -2,…, The1, a0 ja x reaaliluvutja n on positiivinen kokonaisluku, seuraava lauseke on n-asteen polynomiyhtälö.
- Esimerkki
Seuraavat yhtälöt ovat polynomeja.
a) 3x4 + 4x2 – 1 = 0
b) 5x2 – 3 = 0
c) 6x - 1 = 0
d) 7x3 - x2 + 4x + 3 = 0
Kuten polynomien, polynomien yhtälöillä on aste. Polynomin yhtälön asteen määrittämiseksi etsi vain suurin teho, jonka kerroin eroaa nollasta. Siksi edellisten kohteiden yhtälöt ovat vastaavasti:
a) Yhtälö on neljäs aste:3x4+ 4x2 – 1 = 0.
b) Yhtälö on lukio:5x2 – 3 = 0.
c) Yhtälö on ensimmäisen asteen:6x – 1 = 0.
d) Yhtälö on kolmas aste: 7x3- x2 + 4x + 3 = 0.
Älä lopeta nyt... Mainonnan jälkeen on enemmän;)
Kuinka ratkaista polynomiyhtälö?
Menetelmä polynomiyhtälön ratkaisemiseksi riippuu sen asteesta. Mitä suurempi yhtälön aste on, sitä vaikeampi sitä on ratkaista. Tässä artikkelissa näytetään ratkaisu menetelmä polynomien yhtälöille ensimmäinen aste, toinen aste ja neliö.
Ensimmäisen asteen polynomiyhtälö
Ensimmäisen asteen polynomiyhtälön kuvaa a aste 1 polynomi. Joten voimme kirjoittaa ensimmäisen asteen yhtälön yleensä seuraavasti.
Tarkastellaan kahta reaalilukua ja B with 0: lla seuraava lauseke on ensimmäisen asteen polynomiyhtälö:
ax + b = 0
Tämän yhtälön ratkaisemiseksi meidän on käytettävä vastaavuusperiaate, toisin sanoen kaiken, mitä käytetään tasa-arvon toisella puolella, on toimittava myös toisella puolella. Ensimmäisen asteen yhtälön ratkaisun määrittämiseksi meidän on eristää tuntematon. Tätä varten ensimmäinen askel on poistaa B tasa-arvon vasemmalla puolella ja sitten vähentääairot b tasa-arvon molemmin puolin.
kirves + b - B = 0 - B
kirves = - b
Huomaa, että tuntemattoman x: n arvoa ei ole eristetty, kerroin a on poistettava tasa-arvon vasemmalta puolelta, ja tätä varten jaetaan molemmat puolet .
- Esimerkki
Ratkaise yhtälö 5x + 25 = 0.
Ongelman ratkaisemiseksi meidän on käytettävä vastaavuusperiaatetta. Prosessin helpottamiseksi jätämme operaation kirjoittamisen tasa-arvon vasemmalle puolelle, olemiseen vastaava sanoen, että aiomme "siirtää" numeron toiselle puolelle muuttamalla merkkiä (käänteinen operaatio).
Lisätietoja tämän tyyppisen yhtälön ratkaisemisesta käyttämällä tekstiämme: Ensimmäisen asteen yhtälö tuntemattoman kanssa.
Toisen asteen polynomiyhtälö
Toisen asteen polynomiyhtälöllä on a: n ominaispiirteet aste kaksi polynomia. Tarkastellaan siis a-, b- ja c-reaalilukuja, joiden ≠ 0. Toisen asteen yhtälö saadaan:
kirves2 + bx + c = 0
Ratkaisusi voidaan määrittää käyttämällä menetelmää bhaskara tai factoringin avulla. Jos haluat tietää enemmän tämän tyyppisistä yhtälöistä, lue: Eqtoiminta stoinen grau.
→ Bhaskaran menetelmä
Bhaskaran menetelmällä sen juuret saadaan seuraavan kaavan avulla:
- Esimerkki
Määritä yhtälön x ratkaisu2 - 3x + 2 = 0.
Huomaa, että yhtälön kertoimet ovat vastaavasti a = 1, b = - 3 ja c = 2. Korvaamalla nämä arvot kaavassa meidän on:
→ Factorization
Huomaa, että lauseke x on mahdollista ottaa huomioon2 - 3x + 2 = 0 ajatuksesta polynomifaktorointi.
x2 - 3x + 2 = 0
(x - 2) · (x - 1) = 0
Huomaa nyt, että tuotteemme on nolla, ja tuote on nolla vain, jos jokin tekijöistä on nolla, joten meidän on:
x - 2 = 0
x = 2
tai
x - 1 = 0
x = 1
Katso, että löysimme ratkaisun yhtälöön kahdella eri menetelmällä.
kahden neliön yhtälö
THE bisquare yhtälö se on a erityinen tapaus neljännen asteen polynomiyhtälöstä, yleensä neljännen asteen yhtälö kirjoitetaan muodossa:
kirves4 + bx3 + laatikko2 + dx + e = 0
missä numerot a B C D ja ja ovat todellisia arvolla. 0. Neljännen asteen yhtälöä pidetään nelikulmiona, kun kertoimet b = d = 0, eli yhtälö on muodossa:
kirves4 + laatikko2 + ja = 0
Katso alla olevasta esimerkistä, kuinka tämä yhtälö ratkaistaan.
- Esimerkki
Ratkaise x-yhtälö4 - 10x2 + 9 = 0.
Yhtälön ratkaisemiseksi aiomme käyttää seuraavaa tuntematonta muutosta, ja aina kun yhtälö on neliö, teemme sen muutoksen.
x2 = s
Huomaa kahden neliön yhtälöstä, että x4 = (x2)2 ja siksi meidän on:
x4 - 10x2 + 9 = 0
(x2)2 – 10x2 + 9 = 0
P2 - 10p + 9 = 0
Katso, että meillä on nyt toisen asteen polynomiyhtälö ja voimme käyttää Bhaskaran menetelmää seuraavasti:
Meidän on kuitenkin muistettava, että harjoituksen alussa tehtiin tuntematon muutos, joten meidän on sovellettava korvaamisesta löytyvää arvoa.
x2 = s
Jos p = 9, meidän on:
x2 = 9
x ’= 3
tai
x ’’ = - 3
Jos p = 1
x2 = 1
x ’= 1
tai
x ’’ = - 1
Siksi neliöyhtälön ratkaisujoukko on:
S = {3, –3, 1, –1}
Lue myös: Briot-Ruffinin käytännöllinen laite - polynomien jakaminen
Algebran peruslause (TFA)
Algebran (TFA) peruslause, jonka Gauss osoitti vuonna 1799, toteaa, että jokaisella seuraavalla polynomiyhtälöllä on ainakin yksi monimutkainen juuri.
Polynomiyhtälön juuri on sen ratkaisu, toisin sanoen tuntematon arvo tekee tasa-arvon totta. Esimerkiksi ensimmäisen asteen yhtälöllä on jo määritetty juuri, samoin toisen asteen yhtälöllä, jolla on vähintään kaksi juurta, ja kaksikulmalla, jolla on vähintään neljä juurta.
ratkaisi harjoituksia
Kysymys 1 - Määritä x: n arvo, joka tekee tasa-arvon totta.
2x - 8 = 3x + 7
Resoluutio
Huomaa, että yhtälön ratkaisemiseksi on tarpeen järjestää se, eli jättää kaikki tuntemattomat tasa-arvon vasemmalle puolelle.
2x - 8 = 3x + 7
2x - 3x = 7 + 8
- x = 15
Vastaavuusperiaatteella voimme kertoa tasa-arvon molemmat puolet samalla luvulla, ja koska haluamme selvittää x: n arvon, kerrotaan molemmat puolet –1: llä.
(–1)- x = 15(–1)
x = - 15
kysymys 2 - Marcosilla on 20 R $ enemmän kuin Joãolla. Yhdessä he onnistuvat ostamaan kaksi paria lenkkareita, jotka maksavat 80 dollaria kullekin parille ilman rahaa. Kuinka monella reaalilla John on?
Resoluutio
Ajattele, että Markuksella on x reaalia, koska Johnilla on 20 reaalia enemmän, joten hänellä on x + 20.
Merkit → x todelliset
João → (x + 20) reaal
kuinka he ostivat kaksi paria lenkkareita joka maksaa 80 reaalia kukin, joten jos laitamme kunkin osat yhteen, meidän on:
x + (x + 20) = 2 · 80
x + x = 160-20
2x = 140
Siksi Markuksella oli 70 ja Joãolla 90 reaalia.
kirjoittanut Robson Luiz
Matematiikan opettaja