THE aritmeettinen eteneminen (AP) On numeerinen järjestys jota käytämme kuvaamaan tiettyjen ilmiöiden käyttäytymistä matematiikassa. PA: ssa kasvu tai rappeutuminen on aina vakio, eli termistä toiseen ero on aina sama, ja tämä ero tunnetaan syynä.
Seurauksena ennustettavissa oleva etenemiskäyttäytyminen, voit kuvata sen kaavasta, joka tunnetaan nimellä yleinen termi. Samasta syystä on myös mahdollista laskea PA: n ehtojen summa käyttämällä tiettyä kaavaa.
Lue myös: Geometrinen eteneminen - kuinka laskea?
Mikä on PA?
Ymmärtäminen, että PA on termisarja, jossa termin ja sen edellisen välillä on aina vakioero, kuvaamaan tätä etenemistä kaavasta, meidän on löydettävä alkutermi tai eli etenemisen ensimmäinen termi ja sen syy, joka on tämä jatkuva ero ehdot.
Yleisesti ottaen maksusopimus on kirjoitettu seuraavasti:
(1, a2,3, a4,5, a6,7, a8)
Ensimmäinen termi on a1 ja siitä eteenpäin lisätä syy r, löydetään seuraajaehdot.
1 + r = a2
2 + r = a3
3 + r = a4
...
Joten aritmeettisen etenemisen kirjoittamiseksi meidän on tiedettävä, kuka on sen ensimmäinen termi ja miksi.
Esimerkki:
Kirjoitetaan AP: n kuusi ensimmäistä termiä tietäen, että sen ensimmäinen termi on 4 ja sen suhde on 2. tietäen1 = 4 ja r = 2, päätellään, että tämä eteneminen alkaa 4: stä ja kasvaa 2: sta 2: een. Siksi voimme kuvata sen termit.
1 = 4
2 = 4+ 2 = 6
3 = 6 + 2 = 8
4 = 8 + 2 = 10
5= 10 + 2 = 12
6 = 12 + 2 =14
Tämä BP on yhtä suuri kuin (4,6,8,10,12,14…).
PA: n yleinen toimikausi
PA: n kuvaaminen kaavasta helpottaa minkä tahansa sen termien löytämistä. Minkä tahansa AP-termin löytämiseksi käytämme seuraavaa kaavaa:
ei= a1 + r · (n-1) |
N → on termin termi;
1→ on ensimmäinen termi;
r → syy.
Esimerkki:
Etsi se yleissopimuskausi (1,5,9,13,…) ja 5., 10. ja 23. vaalikausi.
1. vaihe: löytää syy.
Löydä suhde yksinkertaisesti laskemalla kahden peräkkäisen termin välinen ero: 5 - 1 = 4; sitten tässä tapauksessa r = 4.
2. vaihe: löytää yleinen termi.
Mistä tiedämme, että1= 1 ja r = 4, korvataan kaavassa.
ei= a1 + r (n - 1)
ei= 1 + 4 (n - 1)
ei= 1 + 4n - 4
ei= 4n - 3 → PA: n yleinen termi
3. vaihe: tietäen yleisen termin, lasketaan viides, kymmenes ja 23. luku.
5. termi → n = 5
ei= 4n - 3
5=4·5 – 3
5=20 – 3
5=17
10. lukukausi → n = 10
ei= 4n - 3
10=4·10 – 3
10=40 – 3
10=37
23. termi → n = 23
ei= 4n - 3
23=4·23 – 3
23=92 – 3
23=89
Aritmeettisten etenemisten tyypit
PA: lle on kolme mahdollisuutta. Se voi olla kasvava, laskeva tai vakio.
Kasvava
Kuten nimestä voi päätellä, aritmeettinen eteneminen kasvaa, kun termien kasvaessa myös niiden arvo kasvaa.eli toinen termi on suurempi kuin ensimmäinen, kolmas on suurempi kuin toinen ja niin edelleen.
1
Jotta tämä tapahtuisi, suhteen on oltava positiivinen, toisin sanoen PA kasvaa, jos r> 0.
Esimerkkejä:
(2,3,4,5,6,7,8,9 …)
(0,5,10,15,20,25...)
laskeva
Kuten nimestä voi päätellä, aritmeettinen eteneminen laskee, kun termien kasvaessa niiden arvo pieneneeeli toinen termi on vähemmän kuin ensimmäinen, kolmas on vähemmän kuin toinen ja niin edelleen.
1 >2 >3 >4 > …. >ei
Jotta tämä tapahtuisi, suhteen on oltava negatiivinen, toisin sanoen PA kasvaa, jos r <0.
Esimerkkejä:
(10,9,8,7,6,5,4,3,2, …)
(0, -5, -10, -15, -20, …)
Jatkuva
Aritmeettinen eteneminen on vakio, kun ehtojen kasvaessa arvo pysyy samana.eli ensimmäinen termi on yhtä suuri kuin toinen, mikä on yhtä suuri kuin kolmas ja niin edelleen.
1 =2 =3 =4 = …. = aei
Jotta PA olisi vakio, suhteen on oltava yhtä suuri kuin nolla, ts. R = 0.
Esimerkkejä:
(1,1,1,1,1,1,1….)
(-2, -2 -2, -2, …)
Katso myös: PG: n ehtojen tuote - mikä on kaava?
PA: n ominaisuudet
1. omaisuus
Kun otetaan huomioon mikä tahansa PA: n voimassaolo, keskiverto aritmeettinen seuraajansa ja edeltäjänsä välillä on sama termi.
Esimerkki:
Harkitse etenemistä (-1, 2, 5, 8, 11) ja termiä 8. Keskiarvo 11: n ja 5: n välillä on yhtä suuri kuin 8, eli PA: ssa olevan numeron edeltäjän seuraaja summa on aina sama kuin tämä luku.
2. omaisuus
Tasavälisten ehtojen summa on aina yhtä suuri.
Esimerkki:
Maksusopimuksen ehdot
Oletetaan, että haluamme lisätä kuusi BP-termiä, jotka on esitetty yllä: (16,13,10,7,4,1). Voimme yksinkertaisesti lisätä heidän ehdot - jolloin termejä on vähän, se on mahdollista - mutta jos on pidempi merkkijono, sinun tulee käyttää ominaisuutta. Tiedämme, että yhtä kaukana olevien ehtojen summa on aina sama, kuten näimme omaisuudessa, joten jos teemme tämän Lisää kerran ja kerro puolella termien määrästä, ja meillä on summa kuuden ensimmäisen ehdon summasta PANOROIDA.
Huomaa, että esimerkissä laskemme ensimmäisen ja viimeisen summan, joka on yhtä suuri kuin 17, kerrottuna puolella termien määrällä, toisin sanoen 17 kertaa 3, mikä on yhtä suuri kuin 51.
Kaava PA: n ehtojen summa sen kehitti matemaatikko Gauss, joka ymmärsi tämän symmetrian aritmeettisissa etenemisissä. Kaava on kirjoitettu seuraavasti:
sei → n elementin summa
1 → ensimmäinen lukukausi
ei → viimeinen termi
n → termien lukumäärä
Esimerkki:
Laske parittomien lukujen summa välillä 1 - 2000.
Resoluutio:
Tiedämme, että tämä sekvenssi on PA (1,3,5,…. 1997, 1999). Summan tekeminen olisi paljon työtä, joten kaava on melko kätevä. Vuosina 1–2000 puolet numeroista ovat parittomia, joten parittomia numeroita on 1000.
Tiedot:
n → 1000
1 → 1
ei → 1999
Pääsy myös: Lopullisen PG: n summa - miten se tehdään?
Aritmeettisten keskiarvojen interpolointi
Kun tiedetään kaksi ei-peräkkäistä aritmeettisen etenemisen termiä, on mahdollista löytää kaikki termit, jotka kuuluvat näiden kahden numeron väliin, mitä tunnemme aritmeettisten keskiarvojen interpolointi.
Esimerkki:
Interpoloidaan 5 aritmeettista keskiarvoa välillä 13 ja 55. Tämä tarkoittaa, että on 5 numeroa välillä 13 ja 55 ja ne muodostavat etenemisen.
(13, ___, ___, ___, ___, ___, 55).
Näiden numeroiden löytämiseksi on löydettävä syy. Tunnemme ensimmäisen termin (1 = 13) ja myös seitsemäs lukukausi (7= 55), mutta tiedämme sen:
ei =1 + r · (n - 1)
Kun n = 7 → aei= 55. Tiedämme myös a: n arvon1=13. Joten, korvaamalla se kaavassa, meidän on:
55 = 13 + r · (7-1)
55 = 13 + 6r
55 - 13 = 6r
42 = 6r
r = 42: 6
r = 7.
Tietäen syyn voimme löytää termejä, jotka ovat välillä 13 ja 55.
13 + 7 = 20
21 + 7 = 27
28 + 7 = 34
35 + 7 = 41
41 + 7 = 49
(13, 20, 27, 34, 41, 49, 55)
ratkaistut harjoitukset
Kysymys 1 - (Enem 2012) - Korttien pelaaminen on toimintaa, joka stimuloi päättelyä. Perinteinen peli on pasianssi, joka käyttää 52 korttia. Aluksi korttien kanssa muodostetaan seitsemän saraketta. Ensimmäisessä sarakkeessa on yksi kortti, toisessa on kaksi korttia, kolmannessa on kolme korttia, neljännessä on neljä korttia ja niin edelleen peräkkäin seitsemänteen sarakkeeseen, jossa on seitsemän korttia, ja mikä muodostaa kasan, jotka ovat käyttämättömiä kortteja sarakkeita.
Kasan muodostavien korttien määrä on:
A) 21.
B) 24.
C) 26.
D) 28.
E) 31.
Resoluutio
Vaihtoehto B.
Lasketaan ensin käytettyjen korttien kokonaismäärä. Työskentelemme AP: n kanssa, jonka ensimmäinen toimikausi on 1 ja suhde on myös 1. Joten, laskettaessa 7 rivin summa, viimeinen termi on 7 ja n: n arvo on myös 7.
Kun tiedetään, että käytettyjen korttien kokonaismäärä oli 28 ja että kortteja on 52, kasa muodostuu:
52 - 28 = 24 korttia
Kysymys 2 - (Enem 2018) Pienen kaupungin kaupungintalo sisätiloissa päättää sijoittaa pylväät valaistuksen ympärille pitkin suoraa tietä, joka alkaa keskusaukiolta ja päättyy alueen maatilalle. maaseudun. Koska aukiolla on jo valaistus, ensimmäinen napa sijoitetaan 80 metrin päähän aukiosta, toinen 100 metrin päähän, kolmas 120 metrin etäisyydelle jne. pitäen aina 20 metrin etäisyys pylväiden välillä, kunnes viimeinen pylväs asetetaan 1380 metrin etäisyydelle neliö.
Jos kaupunki voi maksaa enintään 8 000,00 R $ sijoitetusta postista, suurin summa, jonka voit käyttää näiden postausten sijoittamiseen, on
A) 512 000,00 BRL.
B) 520 000,00 BRL.
C) R $ 528 000,00.
D) 552 000,00 BRL.
E) 584 000,00 BRL.
Resoluutio
Vaihtoehto C.
Tiedämme, että pylväät sijoitetaan 20 metrin välein, toisin sanoen r = 20, ja että tämän PA: n ensimmäinen termi on 80. Tiedämme myös, että viimeinen termi on 1380, mutta emme tiedä kuinka monta termiä on välillä 80 ja 1380. Lasketaan tämä termien määrä käyttämällä yleistä termikaavaa.
Tiedot: aei = 1380;1=80; ja r = 20.
ei= a1 + r · (n-1)
660 viestiä sijoitetaan. Jos kukin maksaa enintään 8 000 R $, suurin summa, joka voidaan käyttää näiden postausten sijoittamiseen, on:
66· 8 000 = 528 000
Kirjailija: Raul Rodrigues de Oliveira
Lähde: Brasilian koulu - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/progressoes-aritmeticas.htm