Kolmikulmainen matriisi: tyypit, determinantti, harjoitukset

Matriisi on kolmiomainen kun päädiagonaalin yläpuolella olevat elementit tai päädiagonaalin alapuolella olevat elementit ovat nollia. Tämän tyyppiselle matriisille on kaksi mahdollista luokitusta: ensimmäinen on se, kun päädiagonaalin yläpuolella olevat elementit ovat nollia, mikä muodostaa alemman kolmion matriisin; toinen on, kun päädiagonaalin alapuolella olevat elementit ovat nollia, mikä muodostaa ylemmän kolmion matriisin.

Jos haluat laskea kolmikulmaisen matriisin determinantin Sarruksen säännöllä, suorita vain päädiagonaalinen kertolasku, koska kaikki muut kerrannaiset ovat yhtä suuria kuin nolla.

Lue myös: Taulukko - mikä se on ja olemassa olevat tyypit

Kolmion matriisi on matriisin erityistapaus.

Kolmikulmaiset matriisityypit

Kolmiomatriisin ymmärtämiseksi on tärkeää muistaa, mikä on neliömatriisin päädiagonaali, joka on matriisi, jolla on sama määrä rivejä ja sarakkeita. Matriisin päälävistäjä on termit a._ij, missä i = j, eli ne ovat termejä, joissa rivin numero on yhtä suuri kuin sarakkeen numero.

Esimerkki:

Päädiagonaalin termit on korostettu punaisella.

Ymmärtääksemme, mikä on neliömatriisi ja mikä on sen päädiagonaali, tiedetään mikä on kolmiomainen matriisi ja sen luokitukset. Kolmikulmaiselle matriisille on kaksi mahdollista luokitusta: alempi kolmion matriisi ja ylempi kolmion matriisi.

• Alempi kolmiomainen matriisi: tapahtuu, kun kaikki päädiagonaalin yläpuolella olevat termit ovat yhtä suuret kuin nolla ja päädiagonaalin alapuoliset termit ovat reaaliluvut.

Numeerinen esimerkki:

• Ylä kolmion matriisi: tapahtuu, kun kaikki päädiagonaalin alapuolella olevat termit ovat yhtä suuret kuin nolla ja päädiagonaalin yläpuolella olevat termit ovat reaalilukuja.

Numeerinen esimerkki:

diagonaalimatriisi

Lävistäjämatriisi on a kolmiomainen matriisi. Siinä ainoat termit, jotka eivät ole nollia, ovat ne, jotka sisältyvät päädiagonaaliin. Päädiagonaalin ylä- tai alapuolella olevat termit ovat kaikki yhtä suuria kuin nolla.

Numeeriset esimerkit diagonaalimatriisista:

Kolmiomainen matriisi

Annetaan kolmiomainen matriisi, kun lasketaan tämän matriisin determinantti Sarruksen sääntö, voit nähdä, että kaikki kertolaskut ovat yhtä suuret kuin nolla, lukuun ottamatta päädiagonaalin termin kertomista.

det (A) = a₁₁ · A₂₂· A₃₃ +₁₂ · A₂₃ · 0 +₁₃ · 0 · 0 - (₁₃ ·₂₃ ·0 +₁₁ · A₂₃ · 0 +₁₂ · 0· A₃₃)

Huomaa, että kaikilla ehdoilla lukuun ottamatta ensimmäistä nolla on yksi tekijöistä ja kaikki kertolasku nollalla on yhtä suuri kuin nolla, joten:

det (A) = a₁₁ · A₂₂· A₃₃

Huomaa, että tämä on päädiagonaalin termien välinen tuote.

Kolmion muotoisen matriisin rivien ja sarakkeiden lukumäärästä riippumatta determinantti on aina yhtä suuri kuin päädiagonaalin ehtojen tulo.

Katso myös: Määrittävä - ominaisuus, jota käytetään neliömäisiin matriiseihin

Kolmion matriisin ominaisuudet

Kolmion matriisilla on joitain erityisiä ominaisuuksia.

• 1. ominaisuus: kolmion matriisin determinantti on yhtä suuri kuin päädiagonaalin termien tulo.
• 2. ominaisuus: kahden kolmiomatriisin välinen tulo on kolmiomainen matriisi.
• 3. ominaisuus: jos yksi kolmion matriisin päädiagonaalin termeistä on yhtä suuri kuin nolla, niin sen determinantti on yhtä suuri kuin nolla, ja siten se ei ole käänteinen.
• 4. ominaisuus: kolmion matriisin käänteinen matriisi on myös kolmiomainen matriisi.
• 5. ominaisuus: kahden ylemmän kolmion matriisin summa on ylempi kolmion matriisi; samoin kahden alemman kolmion matriisin summa on alempi kolmion matriisi.

ratkaistut harjoitukset

1) Kun otetaan huomioon matriisi A, A: n determinantin arvo on:

a) 2

b) 0

c) 9

d) 45

e) 25

Resoluutio

Vaihtoehto d.

Tämä matriisi on alempi kolmiomainen, joten sen determinantti on termien kertolasku päädiagonaaliin.

det (A) = 1,3-3,3-1,5 = 45

2) Tuomitse seuraavat lausunnot.

I → Jokainen neliömatriisi on kolmiomainen.

II → Ylemmän kolmion matriisin ja alemman kolmion matriisin summa on aina kolmion matriisi.

III → Jokainen diagonaalinen identiteettimatriisi on kolmiomainen matriisi.

Oikea järjestys on:

a) V, V, V.

b) F, F, F.

c) F, V, F.

d) F, F, V.

e) V, V, F.

Resoluutio

Vaihtoehto d.

I → väärä, koska jokainen kolmion muotoinen matriisi on neliö, mutta jokainen neliömatriisi ei ole kolmion muotoinen.

II → Väärä, koska ylemmän ja alemman kolmion matriisin summa ei aina johda kolmion matriisiin.

III → Totta, koska diagonaalista erilaiset termit ovat nolla.

Kirjailija: Raul Rodrigues de Oliveira
Matematiikan opettaja

Lähde: Brasilian koulu - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/matriz-triangular.htm