Yhtälön juurien lukumäärä

Yhtälöiden ratkaiseminen on jokapäiväistä toimintaa. Ratkaisemme intuitiivisesti yhtälöitä jokapäiväisessä elämässämme, emmekä edes tiedä sitä. Esittämällä seuraavan kysymyksen: "Mihin aikaan minun pitäisi nousta mennä kouluun, jotta en olla myöhässä?" ja saamme vastauksen, ratkaisimme juuri yhtälön, jossa tuntematon on aika. Nämä jokapäiväiset kysymykset ovat aina kannustaneet matemaatikkoja kaikkien aikojen ajan etsimään ratkaisuja ja menetelmiä yhtälöiden ratkaisemiseksi.
Baskaran kaava on yksi tunnetuimmista menetelmistä yhtälön ratkaisemiseksi. Se on "resepti", matemaattinen malli, joka tarjoaa melkein välittömästi toisen asteen yhtälön juuret. Mielenkiintoista on, että yhtälöiden ratkaisemiseksi ei ole niin monta kaavaa kuin luulisi. Kolmannen ja neljännen asteen yhtälöiden ratkaiseminen on hyvin monimutkaista, ja tämäntyyppisten yhtälöiden yksinkertaisimpia tapauksia varten on olemassa kaavoja.
On mielenkiintoista tietää, että yhtälön aste määrää kuinka monta juurta sillä on. Tiedämme, että toisen asteen yhtälöllä on kaksi juurta. Siksi 3. asteen yhtälöllä on kolme juurta, ja niin edelleen. Katsotaan nyt, mitä tapahtuu joidenkin yhtälöiden kanssa.

Esimerkki. Ratkaise yhtälöt:
a) x² + 3x - 4 = 0
Ratkaisu: Käyttämällä Baskaran kaavaa toisen asteen yhtälön ratkaisemiseksi saadaan:

Tiedämme, että a = 1, b = 3 ja c = - 4. Täten,

Koska ratkaisemme toisen asteen yhtälön, meillä on kaksi juurta.

b) x³ – 8 = 0
Ratkaisu: Tässä tapauksessa meillä on epätäydellinen kolmannen asteen yhtälö yksinkertaisella resoluutiolla.

Ratkaisu: Tässä tapauksessa meillä on epätäydellinen 4. asteen yhtälö, jota kutsutaan myös kahden neliön yhtälöksi. Ratkaisu tämäntyyppiseen yhtälöön on myös yksinkertainen. Katso:
x-yhtälö⁴ + 3x² - 4 = 0 voidaan kirjoittaa uudestaan ​​seuraavasti:
(x²)² + 3x² – 4 =0
x: n tekeminen² = t ja korvaamalla yllä olevassa yhtälössä saadaan:
t² + 3t - 4 = 0 → joka on 2. asteen yhtälö.
Voimme ratkaista tämän yhtälön Baskaran kaavan avulla.

Nämä arvot eivät ole yhtälön juuria, koska tuntematon on x eikä t. Mutta meidän on:
x² = t
Sitten,
x² = 1 tai x² = – 4
x: stä² = 1, saamme, että x = 1 tai x = - 1.
x: stä² = - 4, saamme, että yhtään yhtälöä ei ole.
Siksi S = {- 1, 1}
Huomaa, että vaihtoehtoisesti meillä oli toisen asteen yhtälö ja löysimme kaksi juurta. Vaihtoehtoisesti B ratkaisemme 3. asteen yhtälön ja löydämme vain yhden juuren. Ja kohteen yhtälö ç, se oli 4. asteen yhtälö ja löysimme vain kaksi juurta.
Kuten aiemmin todettiin, yhtälön aste määrää, kuinka monta juurta sillä on:
Luokka 2 → kaksi juurta
Luokka 3 → kolme juurta
Luokka 4 → neljä juurta
Mutta mitä tapahtui vaihtoehtoisille yhtälöille B ja ç?
On käynyt ilmi, että asteen n ≥ 2 yhtälöllä voi olla todellisia juuria ja monimutkaisia ​​juuria. Kohteen b kolmannen asteen yhtälön tapauksessa löydämme vain yhden todellisen juuren, kaksi muuta juurta ovat kompleksilukuja. Sama pätee kohteen c yhtälöön: löydämme kaksi todellista juurta, kaksi muuta ovat monimutkaisia.
Monimutkaisista juurista meillä on seuraava lause.
Jos kompleksiluku a + bi, b ≠ 0, on yhtälön a juuri₀x^ei +₁x^n-1+... +_n-1x + a_ei = 0, todellisten kertoimien, joten sen konjugaatti, a - bi, on myös yhtälön juuri.
Lauseen seuraukset ovat:
• 2. asteen yhtälö todellisilla kertoimilla → sisältää vain todelliset juuret tai kaksi konjugoitua kompleksista juurta.
• 3. asteen yhtälö todellisilla kertoimilla → sisältää vain todelliset juuret tai yhden todellisen juuren ja kaksi konjugoitua kompleksista juurta.
• 4. asteen yhtälö todellisilla kertoimilla → sisältää vain todelliset juuret tai kaksi kompleksista konjugaattijuuria ja kaksi todellista tai vain neljä kompleksista konjugaattijuuria, kaksi kerrallaan.
• 5. asteen yhtälö todellisilla kertoimilla → sisältää vain todelliset juuret tai kaksi kompleksista juurta konjugoitu ja toinen todellinen tai ainakin yksi todellinen juuri ja muut monimutkaiset juuret, kaksi kerrallaan konjugoitu.
Sama pätee yli 5 asteen yhtälöihin.

Kirjoittanut Marcelo Rigonatto
Tilastojen ja matemaattisen mallinnuksen asiantuntija
Brasilian koulutiimi

Monimutkaiset numerot - Matematiikka - Brasilian koulu

Lähde: Brasilian koulu - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numero-raizes-uma-equacao.htm