Siinus, kosinus ja tangent on neile antud nimed trigonomeetrilised suhted. Enamik kauguse arvutamisega seotud probleemidest lahendatakse trigonomeetria. Ja selleks on väga oluline mõista selle põhialuseid, alustades täisnurkne kolmnurk.
Trigonomeetrilised suhted on samuti väga olulised, kuna need seovad mõõtmisi mõlemal pool kolmnurk ühe terava nurga all, seostades seda suhet a reaalarv.
Näe rohkem: Trigonomeetrilise tsükli kvadrantide tuvastamine
Parema kolmnurga omadused
Täisnurkse kolmnurga moodustab a nurk 90 ° (sirge nurk). Teised nurgad on väiksemad kui 90º, see tähendab, et need on teravad ja lisaks teame, et suurimad küljed on alati suurimate nurkade vastas. Ristnurgas nimetatakse suurimat külge küljeks hüpotenuus ja on täisnurga ees, nimetatakse teisi külgi pecarid.
Ülaltoodud kolmnurgas on küljed, mis mõõdavad c ja b, on jalad ja külg, mis mõõdab a, on hüpotenuus. Igas täisnurgas teadsid suhted seda Pythagorase teoreem on kehtiv.
The2 = b2 + c2
Kaelarihmaga pekarile antakse nüüdsest ka erinimed. Jalgade nomenklatuurid sõltuvad võrdlusnurgast. Arvestades ülaltoodud pildi sinise nurka, on külg, mis mõõdab b vastasjalg, ja nurga kõrval asuv külg, st see, mis mõõdab c, on külgnev jalg.
Ärge lõpetage kohe... Peale reklaami on veel;)
Siinus
Enne nurga siinuse valemi määratlemist mõistame siinuse ideed. Kujutage ette kaldteed, millel saame määrata põhjust pikkuse ja raja vahel, eks? Seda suhet nimetatakse nurga α siinuseks.
Seega
sin α = kõrgus
tee
koosinus
Analoogselt siinuse ideega on meil ka kosinusetaju, kuid kaldteel on koosinus maapinnast kauguse ja kaldteel kulgeva tee suhe.
Seega:
cos α = eemaldus
tee
Tangent
Puutuja on ka siinuse ja koosinusideedega sarnane kaldtee kõrguse ja kauguse suhe.
Seega:
tg α = kõrgus
eemaldus
Puutuja annab meile tõusumäär.
Loe ka: Trigonomeetria suvalises kolmnurgas
Siinuse, koosinususe ja puutuja suhe
Üldiselt saame eelnevate ideede abil defineerida siinuse, koosinuse ja puutuja suvalises täisnurgas. Vaata allpool:
Kõigepealt võtke nurk α võrdlusena on meil:
sin α = vastaspool = ç
hüpotenuus kuni
cos α = külgnev katett = B
hüpotenuus kuni
tg α = vastaspool = ç
Kõrvalkujundus b
Võttes nüüd nurk β võrdlusena, on meil:
sin β = vastaspool = B
hüpotenuus kuni
cos β = külgnev katett = ç
hüpotenuus kuni
tg β = vastaspool = B
külgnev kateetus c
Trigonomeetrilised tabelid
Peame teadma kolme nurga väärtust. Kas nad on:
Ülejäänud väärtused on toodud harjutuste lausetes või neid saab kontrollida järgmises tabelis, kuid ärge muretsege, neid pole vaja meelde jätta (välja arvatud eelmises tabelis olevad).
Nurk (°) |
siinus |
koosinus |
puutuja |
Nurk (°) |
siinus |
koosinus |
puutuja |
1 |
0,017452 |
0,999848 |
0,017455 |
46 |
0,71934 |
0,694658 |
1,03553 |
2 |
0,034899 |
0,999391 |
0,034921 |
47 |
0,731354 |
0,681998 |
1,072369 |
3 |
0,052336 |
0,99863 |
0,052408 |
48 |
0,743145 |
0,669131 |
1,110613 |
4 |
0,069756 |
0,997564 |
0,069927 |
49 |
0,75471 |
0,656059 |
1,150368 |
5 |
0,087156 |
0,996195 |
0,087489 |
50 |
0,766044 |
0,642788 |
1,191754 |
6 |
0,104528 |
0,994522 |
0,105104 |
51 |
0,777146 |
0,62932 |
1,234897 |
7 |
0,121869 |
0,992546 |
0,122785 |
52 |
0,788011 |
0,615661 |
1,279942 |
8 |
0,139173 |
0,990268 |
0,140541 |
53 |
0,798636 |
0,601815 |
1,327045 |
9 |
0,156434 |
0,987688 |
0,158384 |
54 |
0,809017 |
0,587785 |
1,376382 |
10 |
0,173648 |
0,984808 |
0,176327 |
55 |
0,819152 |
0,573576 |
1,428148 |
11 |
0,190809 |
0,981627 |
0,19438 |
56 |
0,829038 |
0,559193 |
1,482561 |
12 |
0,207912 |
0,978148 |
0,212557 |
57 |
0,838671 |
0,544639 |
1,539865 |
13 |
0,224951 |
0,97437 |
0,230868 |
58 |
0,848048 |
0,529919 |
1,600335 |
14 |
0,241922 |
0,970296 |
0,249328 |
59 |
0,857167 |
0,515038 |
1,664279 |
15 |
0,258819 |
0,965926 |
0,267949 |
60 |
0,866025 |
0,5 |
1,732051 |
16 |
0,275637 |
0,961262 |
0,286745 |
61 |
0,87462 |
0,48481 |
1,804048 |
17 |
0,292372 |
0,956305 |
0,305731 |
62 |
0,882948 |
0,469472 |
1,880726 |
18 |
0,309017 |
0,951057 |
0,32492 |
63 |
0,891007 |
0,45399 |
1,962611 |
19 |
0,325568 |
0,945519 |
0,344328 |
64 |
0,898794 |
0,438371 |
2,050304 |
20 |
0,34202 |
0,939693 |
0,36397 |
65 |
0,906308 |
0,422618 |
2,144507 |
21 |
0,358368 |
0,93358 |
0,383864 |
66 |
0,913545 |
0,406737 |
2,246037 |
22 |
0,374607 |
0,927184 |
0,404026 |
67 |
0,920505 |
0,390731 |
2,355852 |
23 |
0,390731 |
0,920505 |
0,424475 |
68 |
0,927184 |
0,374607 |
2,475087 |
24 |
0,406737 |
0,913545 |
0,445229 |
69 |
0,93358 |
0,358368 |
2,605089 |
25 |
0,422618 |
0,906308 |
0,466308 |
70 |
0,939693 |
0,34202 |
2,747477 |
26 |
0,438371 |
0,898794 |
0,487733 |
71 |
0,945519 |
0,325568 |
2,904211 |
27 |
0,45399 |
0,891007 |
0,509525 |
72 |
0,951057 |
0,309017 |
3,077684 |
28 |
0,469472 |
0,882948 |
0,531709 |
73 |
0,956305 |
0,292372 |
3,270853 |
29 |
0,48481 |
0,87462 |
0,554309 |
74 |
0,961262 |
0,275637 |
3,487414 |
30 |
0,5 |
0,866025 |
0,57735 |
75 |
0,965926 |
0,258819 |
3,732051 |
31 |
0,515038 |
0,857167 |
0,600861 |
76 |
0,970296 |
0,241922 |
4,010781 |
32 |
0,529919 |
0,848048 |
0,624869 |
77 |
0,97437 |
0,224951 |
4,331476 |
33 |
0,544639 |
0,838671 |
0,649408 |
78 |
0,978148 |
0,207912 |
4,70463 |
34 |
0,559193 |
0,829038 |
0,674509 |
79 |
0,981627 |
0,190809 |
5,144554 |
35 |
0,573576 |
0,819152 |
0,700208 |
80 |
0,984808 |
0,173648 |
5,671282 |
36 |
0,587785 |
0,809017 |
0,726543 |
81 |
0,987688 |
0,156434 |
6,313752 |
37 |
0,601815 |
0,798636 |
0,753554 |
82 |
0,990268 |
0,139173 |
7,11537 |
38 |
0,615661 |
0,788011 |
0,781286 |
83 |
0,992546 |
0,121869 |
8,144346 |
39 |
0,62932 |
0,777146 |
0,809784 |
84 |
0,994522 |
0,104528 |
9,514364 |
40 |
0,642788 |
0,766044 |
0,8391 |
85 |
0,996195 |
0,087156 |
11,43005 |
41 |
0,656059 |
0,75471 |
0,869287 |
86 |
0,997564 |
0,069756 |
14,30067 |
42 |
0,669131 |
0,743145 |
0,900404 |
87 |
0,99863 |
0,052336 |
19,08114 |
43 |
0,681998 |
0,731354 |
0,932515 |
88 |
0,999391 |
0,034899 |
28,63625 |
44 |
0,694658 |
0,71934 |
0,965689 |
89 |
0,999848 |
0,017452 |
57,28996 |
45 |
0,707107 |
0,707107 |
1 |
90 |
1 |
Tea ka: Sekant, kosekant ja kotangent
lahendatud harjutused
küsimus 1 - Määrake x ja y väärtus järgmises kolmnurgas.
Lahendus:
Vaadake kolmnurgast, et antud nurk oli 30 °. Ikka kolmnurka vaadates on meil külg, mis mõõdab x see on vastasjalg 30 ° nurga all ja mõõdetav külg y see on külgnev jalg 30 ° nurga all. Seega peame otsima trigonomeetrilist suhet, mis seostaks otsitavat ja antavat (hüpotenuus). Varsti:
sin 30 ° = vastaspool
Hüpotenuus
cos 30 ° = külgnev katett
Hüpotenuus
Määrati x väärtus:
sin 30 ° = vastaspool
Hüpotenuus
sin 30 ° = x
2
Tabelit vaadates peame:
sin 30 ° = 1
2
Asendades selle võrrandisse, on meil:
1 = x
2 2
x = 1
Samamoodi kaalume
Seega:
Cos 30 ° = √3
2
cos 30 ° = külgnev katett
Hüpotenuus
cos 30 ° = Y
2
√3 = Y
2 2
y = √3
2. küsimus - (PUC-SP) Mis on x väärtus järgmisel joonisel?
Lahendus:
Suuremat kolmnurka vaadates pange tähele, et y on 30 ° nurga vastas ja 40 on hüpotenuus ehk saame kasutada trigonomeetrilist siinusuhet.
sin 30 ° = Y
40
1 = Y
2 40
2 y = 40
y = 20
Nüüd vaadates väiksemat kolmnurka, näeme, et meil on vastaskülje väärtus ja otsime x-i, mis on külgnev külg. Neid kahte jalga hõlmav trigonomeetriline suhe on puutuja. Seega:
tg 60 ° = 20
x
√3= 20
x
√3 x = 20
x = 20 · √3
√3 √3
x = 20√3
3
autor Robson Luiz
Matemaatikaõpetaja
Kas soovite sellele tekstile viidata koolis või akadeemilises töös? Vaata:
LUIZ, Robson. "Siinus, kosinus ja tangent"; Brasiilia kool. Saadaval: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/seno-cosseno-tangente-angulos.htm. Juurdepääs 27. juunil 2021.
