Üks võrrand on matemaatiline lause, millel on võrdsus ja vähemalt üks tundmatu, see tähendab, kui meil on a algebraline väljend ja võrdsus. Võrrandite uurimine nõuab eelteadmisi, näiteks numbrilised väljendid. Võrrandi eesmärk on leidke tundmatu väärtus mis muudab võrdsuse identiteediks, see tähendab tõeliseks võrdsuseks.
Loe ka:Operatsioonid murdudega - kuidas arvutada?
Võrrandiuuringu põhimõisted
Võrrand on matemaatiline lause, millel on a teadmata, vähemalt, ja a võrdsus, ja saame selle järjestada tundmatute arvude järgi. Vaadake mõnda näidet:
a) 5t - 9 = 16
Võrrandil on tundmatu täht t.
b) 5x + 6y = 1
Võrrandil on kaks tundmatut, mida tähed tähistavad x ja y.
c) t4 - 8z = x
Võrrandil on kolm tundmatut, mida tähed tähistavad Okei,z ja x.
Ükskõik mis võrrand, peame arvestama teie universumi komplekt,koosneb kõigist võimalikest väärtustest, mille saame omistada tundmatule, tähistab seda komplekti täht U.
Näide 1
Vaatleme võrrandit x + 1 = 0 ja selle võimalikku lahendit x = –1. Mõelge nüüd, et võrrandi universumi komplekt on loomulik.
Pange tähele, et oletatav lahendus ei kuulu universumi hulka, kuna selle elemendid on kõik võimalikud väärtused, mida tundmatu võib võtta, seega pole x = –1 võrrandi lahendus.
Muidugi, mida suurem on tundmatute arv, seda keerulisem on teie lahendit kindlaks teha. THE lahendus või allikas võrrandi väärtus on kõigi nende väärtuste kogum, mis tundmatule omistades muudavad võrdsuse tõeseks.
Näide 2
Mõelge võrrandile, mille 5x - 9 = 16 on tundmatu, kontrollige, kas x = 5 on võrrandi lahendus või juur.
Et oleks võimalik seda öelda x = 5 on võrrandi lahendus, peame selle väärtuse avaldises asendama, kui leiame tõelise võrdsuse, on arv testitud lahendus.
5x – 9 = 16
5(5) – 9 = 16
25 – 9 = 16
16 = 16
Vaadake, kas leitud võrdsus on tõsi, nii et meil on identiteet ja number 5 on lahendus. Seega võime öelda, et lahenduskomplekti annab:
S = {5}
Näide 3
Vaatleme võrrandit t2 = 4 ja kontrollige, kas t = 2 või t = –2 on võrrandi lahendid.
Analoogiliselt peaksime t-väärtuse võrrandisse asendama, kuid pange tähele, et tundmatu jaoks on meil kaks väärtust ja seetõttu peaksime kontrollima kahes etapis.
Samm 1 - t = 2 korral
t2= 4
22 = 4
4 = 4
2. samm - t = –2 korral
t2 = 4
(–2)2 = 4
4 = 4
Vaadake t = 2 ja t = - 2 leiame identiteedi, nii et need kaks väärtust on võrrandi lahendid. Seega võime öelda, et lahenduskomplekt on:
S = {2, –2}
Võrranditüübid
Samuti võime klassifitseerida võrrandi positsiooni kohta, mille tundmatud hõivavad. Vaadake peamisi tüüpe:
Polünoomvõrrandid
Kell polünoomvõrrandid mida iseloomustab polünoomi võrdsus nulliga. Vaadake mõnda näidet:
) 6t3+ 5t2–5t = 0
Numbrid6, 5 ja –5 on võrrandi koefitsiendid.
B) 9x – 9= 0
Numbrid 9 ja – 9 on võrrandi koefitsiendid.
c) y2– y – 1 = 0
Numbrid 1, – 1 ja – 1 on võrrandi koefitsiendid.
Võrrand kraadid
Polünoomvõrrandeid saab liigitada nende astme järgi. Nagu ka polünoomid, annab polünoomvõrrandi aste suurim võimsus, millel on nullist erinev koefitsient.
Eelmistest näidetest a, b ja c on võrrandite astmed järgmised:
a) 6t3 + 5t2 –5t = 0 → Polünoomvõrrand kolmas aste
b) 9x - 9 = 0 → Polünoomvõrrand esimene kraad
ç) y2 - y - 1 = 0 → Polünoomvõrrand Keskkool
Loe ka: ruutvõrrandu: kuidas arvutada, tüübid, näited
ratsionaalsed võrrandid
Ratsionaalvõrrandeid iseloomustab nende omamine tundmatud a nimetavas murdosa. Vaadake mõnda näidet:
Loe ka: Mis on ratsionaalsed arvud?
irratsionaalsed võrrandid
Kell irratsionaalsed võrrandid iseloomustab nende omamine tundmatud n-nda juure sees, see tähendab radikaali sees, mille indeks on n. Vaadake mõnda näidet:
eksponentsiaalsed võrrandid
Kell eksponentsiaalsed võrrandid on eksponendis asuvad tundmatud aasta potentsi. Vaadake mõnda näidet:
logaritmiline võrrand
Kell logaritmilised võrrandid iseloomustab omamine üks või mitu tundmatut logaritm. Näeme, et logaritmi definitsiooni rakendamisel langeb võrrand mõnel eelmisel juhul. Vaadake mõnda näidet:
Vaadake ka: Esimese astme võrrand tundmatuga
Kuidas võrrandit lahendada?
Võrrandi lahendamiseks peame uurima kasutatavad meetodid, see tähendab, et iga võrranditüübi jaoks on võimalike juurte määramiseks erinev meetod. Kuid kõik need meetodid on tuletatud samaväärsuse põhimõttest, sellega on võimalik lahendada peamised võrranditüübid.
Samaväärsuse põhimõte
Teine samaväärsuse põhimõte: me võime vabalt tegutseda võrdsuse ühel küljel, kui me teeme sama võrdsuse teisel poolel. Mõistmise parandamiseks nimetame need küljed.
Seetõttu ütleb ekvivalentsuse põhimõte, et see on võimalik opereerida esimest jäset vabalt, kuni sama operatsioon tehakse teise liikmega.
Samaväärsuse põhimõtte kontrollimiseks kaaluge järgmist võrdsust:
5 = 5
Läheme nüüd Lisama mõlemal pool number 7 ja pange tähele, et võrdsus on endiselt tõsi:
5 =5
5 + 7= 5 + 7
12 = 12
Läheme nüüd lahutama 10 võrdsuse mõlemal küljel, märkige uuesti, et võrdsus on endiselt tõsi:
12 = 12
12 – 10 = 12 – 10
2 = 2
vaata, et saame korrutada või jagama ja tõsta a-ni potentsi või isegi väljavõte a allikasseni, kuni seda tehakse esimesel ja teisel liikmel, kehtib võrdsus alati.
Võrrandi lahendamiseks peame seda põhimõtet kasutama koos mainitud toimingute tundmisega. Võrrandite väljatöötamise hõlbustamiseks jätame välja esimese liikmega tehtud toimingu, see on samaväärne ütlemisega, et edastame numbri teisele liikmele, vahetades märgi vastupidise vastu.
Idee võrrandi lahendi määramiseks on alati isoleerida tundmatu ekvivalentsuse põhimõtte abil, Vaata:
Näide 4
Samaväärsuspõhimõtte abil määrake võrrandi 2x - 4 = 8 lahendushulk, teades, et universumi hulk on antud: U = ℝ.
2x - 4 = 8
Esimese astme polünoomvõrrandi lahendamiseks peame tundmatu esimeses liikmes isoleerima. Selleks võtame esimeselt liikmelt numbri –4, lisades mõlemale poolele 4, kuna –4 + 4 = 0.
2x - 4 = 8
2x - 4+ 4 = 8+ 4
2x = 12
Pange tähele, et selle protsessi sooritamine võrdub numbri 4 lihtsalt vastupidise märgiga läbimisega. Niisiis, tundmatu x eraldamiseks edastame numbri 2 teisele liikmele, kuna see korrutab x-i. (Pidage meeles: korrutamise pöördoperatsioon on jagamine). See oleks sama, kui jagada mõlemad pooled kahega.
Seetõttu annab lahenduskomplekti:
S = {6}
Näide 5
Lahendage võrrand 2x + 5 = 128, teades, et universumi hulga annab U = ℝ.
Eksponentvõrrandi lahendamiseks kasutame kõigepealt järgmist võimendav omadus:
Them + n =m · Aei
Kasutame ka fakti, et 22 = 4 ja 25 = 32.
2x + 5 = 128
2x · 25 = 128
2x · 32 = 128
Pange tähele, et mõlemad pooled on võimalik jagada 32-ga, see tähendab, et jagades jagage number 32 teisele liikmele.
Seega peame:
2x = 4
2x = 22
Ainus võrdsust rahuldav x väärtus on arv 2, seega x = 2 ja lahusekomplekti annab:
S = {2}
Harjutused lahendatud
küsimus 1 - Vaatleme määratud universumit U = ℕ ja määrake järgmise irratsionaalse võrrandi lahendus:
Resolutsioon
Selle võrrandi lahendamiseks peame tegelema esimese liikme juure kõrvaldamisega. Pange tähele, et selleks on vaja esimene liige tõsta juurega samasse indeksisse, see tähendab kuupi. Samaväärsuse põhimõtte järgi peame kasvatama ka teise võrdõiguslikkuse liikme.
Pange tähele, et nüüd peame lahendama teise astme polünoomvõrrandi. Andkem tundmatu x eraldamiseks teisele liikmele number (lahutades võrdsuse 11 mõlemalt poolt 11).
x2 = 27 – 11
x2 = 16
Nüüd x väärtuse määramiseks vaadake, kas on kaks võrdsust rahuldavat väärtust, x ’= 4 või x’ ’= –4, üks kord:
42 = 16
ja
(–4)2 = 16
Pange aga küsimuse avalduses tähele, et antud universumikomplekt on looduslike arvude hulk ja arv –4 ei kuulu sellesse, seega annab lahendikomplekti:
S = {4}
2. küsimus - Vaatleme polünoomvõrrandit x2 + 1 = 0, teades, et universumikomplekti annab U = ℝ.
Resolutsioon
Samaväärsuse põhimõtte jaoks lahutage mõlemast liikmest 1.
x2 + 1 – 1= 0 – 1
x2 = – 1
Pange tähele, et võrdsusel pole lahendust, kuna universumi komplekt on tegelikud arvud, see tähendab kõik väärtused, mida tundmatu võib oletada, on reaalsed ja pole reaalset arvu, mis ruudus olles oleks negatiivne.
12 = 1
ja
(–1)2 = 1
Seetõttu pole võrrandil reaalhulgal lahendust ja seega võime öelda, et lahendikomplekt on tühi.
S = {}
autor Robson Luiz
Matemaatikaõpetaja
