Polühedra: mis need on, elemendid, omadused

Polühedra (ladina keelest) polü - palju - ja hedron - nägu) on arvudkolmemõõtmeline moodustatud korrapäraste hulknurkade liitumisel, milles kõik kolmnurksed nurgad on omavahel kooskõlas. Nende hulknurkade liit moodustab elemendid, millest koosneb hulktahukas, need on: tipud, servad ja näod. Kuid mitte iga kolmemõõtmeline kuju ei ole hulktahukas, selle näiteks on kujundid, millel on kumerad näod, mida nimetatakse ümmargused kered.

On olemas matemaatiline valem, mis seob nn hulktahva elemendid Euleri suhe. Veelgi enam, polüheedrid jagunevad kahte rühma: niinimetatud polüheedrid kumer ja mitte kumer. Mõned polüheedrid väärivad erilist tähelepanu, neid kutsutakse Platoni polüheedra: tetraeeder, heksahedron, oktaeeder, dodekaeder ja ikosaeder.

Loe ka: Lamedate ja ruumiliste kujundite erinevused

kumer hulktahukas

Mitmekordne on kumer, kui see on moodustatud hulknurgad kumer, järgitakse järgmisi tingimusi:

1. kaks hulknurka Mitte kunagi nad on koplanaarsed, see tähendab, et nad ei kuulu samasse tasapinda.
2. Ühe nimetatud hulknurga mõlemad küljed kuuluvad ainult kahte hulknurka.
3. Tasand, mis sisaldab ühte neist hulknurkadest, jätab ülejäänud hulknurgad samasse poolruumi.

Loe ka:Kumer hulknurga sise- ja välisnurkade summa

Kumerad mitmetahulised elemendid

Mõelge sellele kumerale mitmetahulisele kujule:

Sina nelinurksed joonisel nimetatakse näod polüheedrist.

Sina viisnurgad on nimega hulktahuka nägu ja alus viisnurkne aluse hulktahukas.

Kõiki nägusid moodustavaid segmente nimetatakse servad polüheedrist.

Punkte, kus servad kokku puutuvad, nimetatakse tipud.

Liinilõik JC kutsutakse diagonaal polüheedri tähis:

JC on üks diagonaale, saame aru diagonaal polüheedri olemasolu joone segment, mis ühendab kahte tippu, mis ei kuulu samale näole.

Samuti on meil servade vahel moodustatud polühraalne nurk, mida tähistatakse järgmiselt:

Mitmetahulist nurka nimetatakse a trihedral Millal kolm servad pärinevad tipust. Samamoodi nimetatakse seda tetraeedriline, juhtum neli servad pärinevad tipust jne.

Nüüdsest loome mõned tähistused, need on:

Tea rohkem: Geomeetriliste tahkete ainete kavandamine

Kumera polüeedri omadused

• 1. omadus

Kõigi tahkude servade summa võrdub kahekordse hulktahuka servade arvuga.

Näide

Polüheedril on 6 ruutu. Määrame servade arvu.

Atribuudi järgi korrutage lihtsalt näo servade arv nägude arvuga ja see võrdub kahekordse servade arvuga. Seega:

• 2. vara

Kõigi nägude tippude summa on võrdne kõigi nägude servade summaga, mis on võrdne kahekordse servade arvuga.

Näide

Mitmekordne, millel on 5 tetraeedrilist nurka ja 4 kuusnurkset nurka. Määrame servade arvu.

Analoogselt eelmise näitega ütleb teine ​​omadus, et kõigi nägude servade summa võrdub kahekordse servade arvuga. Servade arvu annab korrutis 5x4 ja 4x6, kuna need on 5 tetraeedrilised ja 4 kuusnurksed nurgad. Seega:

Nõgus (kumer) polühedra

Mitmekordne on mittekumer või nõgus, kui võtame kaks punkti erinevatel nägudel ja sirge r mis sisaldab neid punkte, ei ole kõik hulktahukas.

Pange tähele, et sirge (sinise värviga) ei ole hulktahul täielik, seega on hulktahukas (roosas) nõgus või kumer.

tavaline polüheedra

Me ütleme, et hulktahukas on korrapärane, kui teie näod on tavalised hulknurgad üksteisega võrdsed ja mitmetahuliste nurkadega.

Vaadake mõnda näidet:

Pange tähele, et kõik teie näod on tavalised hulknurgad. Selle näod on moodustatud ruudukestega ja servad on kõik ühtsed, see tähendab, et neil on sama mõõt.

lugedaka: Mis on korrapärased ja kumerad hulknurgad?

Euleri suhe

Tuntud ka kui Euleri teoreem, tulemust tõestas Leonhard Euler (1707 - 1783) ja see tagab selle aastal kogu kinnine kumer hulktahukas järgmine suhe kehtib:

Platoni polühedra

Kõiki järgmistele tingimustele vastavat polühedronit nimetatakse Platoni polühedriks:

1. Euleri suhe on kehtiv

2. Kõigil nägudel on sama arv servi

3. Kõigil mitmetahulistel nurkadel on sama arv servi

On tõestatud, et tavalisi ja kumeraid polüheedreid või Platoni polüheedreid on ainult viis:

• tavaline tetraeeder

tetraeedril on 4 kolmnurkset tahku ühtivad ja 4 kolmepoolset nurka ühtivad.

• tavaline heksahedron

heksahedronil on 6 ruudukujulist nägu ühtivad ja 8 kolmepoolset nurka ühtivad.

• tavaline oktaeeder

oktaeedril on 8 kolmnurkset tahku ühtivad ja 6 tetraeedrilist nurka ühtivad.

• tavaline dodekaeder

dodekaedril on 12 viisnurkset nägu ühtivad ja 20 nurkatrihedral ühtivad.

• tavaline ikosaeder

Ikosaedril on 20 kolmnurkset tahku ühtivad ja 12 pentahedral nurka ühtivad.

lahendatud harjutused

1) (vaenlane) Ehteks lõigati 32-nägu kumer hulktahukas, millest 20 on heksaheedrid ja ülejäänud viisnurksed. Sellest ehtest saab kingitust daamile, kes tähistab oma sünnipäeva, täites vanuse, mille arv on selle polütaagi tippude arv. See daam lõpetab:

a) 90 aastat

b) 72-aastane

c) 60 aastat vana

d) 56-aastane

e) 52-aastane

Lahendus:

Annab vara 1 kumerate polüheedrite kohta teame, et:

Nüüd kuidas me teame servade arvu see on nägude arv, saame kasutada Euleri suhet.

Kuna teie vanus on võrdne tippude arvuga, on see 60 aastat. C alternatiiv

2) (PUC-SP) Mitu serva teeb kolmnurkse küljega kumer hulktahk, kus tippude arv on kolm viiendikku tahkude arvust?

a) 60

b) 30

c) 25

d) 20

e) 15

Lahendus:

Kumerate hulktaimede omaduste ja harjutuslause põhjal on meil:

Asendades need väärtused suhtesse Euler, on meil järgmine:

Korrastades eelmise võrrandi ja lahendades võrrandi F-s, järeldub:

Servade võrrandist leitud nägude arvu väärtuse asendamine on järgmine:

B. Alternatiiv

autor Robson Luiz
Matemaatikaõpetaja