THE kombinatoorne analüüs on matemaatika õppesuund, mis on seotud loenduseeskirjadega. 18. sajandi alguses põhjustas täringute ja kaartidega mängude uurimine loendusteooriate suurt arengut.
Kombinaatorite töö võimaldab realiseerida üha täpsemaid loendeid.Loendamise aluspõhimõte (PFC), faktoriaal ja rühmitamise tüübid on näited kombinatoorses analüüsis uuritavatest mõistetest, mis lisaks pakkumisele suurem täpsus aitab eiteiste matemaatika valdkondade, näiteks The tõenäosus ja O Newtoni binoom.
Loe ka: kokkulepe või çkombinatsioon?
Milleks on kombinatoorne analüüs?
Kombinatoriaalne analüüs on seotud loendusprotsessiga, see tähendab, et selle matemaatika valdkonna uurimine võimaldab meil välja töötada tööriistu, mis aitavad meil loeb tõhusamalt. Vaatame tüüpilist loendamisprobleemi, vt:
Näide 1
Vaatleme kolme linna A, B ja C, mis on ühendatud maanteedega R1, R2, R3, R4 ja R5. Määrake, mitu viisi saame linnast A linna C linna kaudu.
Pange tähele, et peame linnast A lahkuma ja linna B minema ning alles siis saame sõita linna C, seega analüüsime kõiki
võimalused maanteele järgneva ürituse läbiviimiseks.1. viis: R1 → R3
2. viis: R1 → R4
3. viis: R1 → R5
4. viis: R2 → R3
5. viis: R2 → R4
6. tee: R2 → R5
Nii et meil on kuus erinevat viisi, kuidas jõuda linnast A linna C linna kaudu. Pange tähele, et väljapakutud probleem on suhteliselt lihtne ja tehtud analüüs oli vähe vaevarikas. Niisiis uurime nüüdsest keerukamaid tööriistu, mis võimaldavad probleeme lahendada palju vähem tööga.
Loendamise aluspõhimõte (PFC)
Vaatleme sündmust E, mida saab sooritada n iseseisva ja järjestikuse sammuna. Mõelge nüüd, et esimese sammu sooritamise võimaluste arv on võrdne P-ga1, kujutage ka ette, et teise etapi läbiviimise võimaluste arv on P2ja nii edasi, kuni jõuame viimasele etapile, millel on Pei teostamise võimalused.
Loendamise põhiprintsiip (PFC) ütleb, et kogu võimalused ürituse E korraldamise annab:
P1 · P2 ·… · Pei
Seega annab summa kokku sündmuse E moodustavate sammude võimaluste korrutis. Pange tähele, et sündmuse E korraldamise koguvõimaluste kindlaksmääramiseks on vaja teada kõigi etappide koguvõimalusi.
Näide 2
Teeme näite 1 uuesti, kasutades loendamise põhiprintsiipi.
Vaatleme näites 1 olevat pilti.
Pange tähele, et üritust saab korraldada kahes etapis: esimene läheb linnast A linna B ja teine linnast B linna C. Esimese sammu sooritamiseks on meil kaks võimalust (teed R1 ja R2) ja teise etapi läbiviimiseks on meil kolm võimalust (R3, R4 ja R5).
1. samm → kaks võimalust
2. etapp → kolm võimalust
Loendamise põhiprintsiibi järgi peame korrutada iga sammu koguvõimalused.
2 · 3
6
Seetõttu on linnast B linna B kaudu minekuks kokku kuus võimalust.
Näide 3
Mitmel viisil saab kolme olümpiamedalit jagada võistlusel mägijalgratas viie konkurendiga?
Medalite jagamise korraldamine on sündmus, mida saab läbi viia kolmes etapis. Esimene samm on analüüsida kogu kuldmedali saajate võimalusi, st viis võimalused.
Teine samm on analüüsida võimalusi, kes saavad hõbemedali, st neli, kuna esimene koht seda valikut ei sisesta. Kolmas samm on analüüsida kogu võimalusi, kes saavad pronksmedali, st kolm, kuna kaks esimest on juba valitud.
1. samm → viis võimalust
2. etapp → neli võimalust
3. etapp → kolm võimalust
Nii et loendamise põhiprintsiibi järgi on meil:
5 · 4 · 3
60 võimalust
Vaadake ka: Lisandite loendamise põhimõte - ühe või mitme komplekti liitmine
Factorial
O faktoriaal on viis lagundada loomuliku arvu. Numbri faktori arvutamiseks korrutage see lihtsalt kõigi eelkäijatega kuni arvuni 1. Faktooriumi tähistab hüüumärk - “!”.
Vaadake mõningaid näiteid, kuidas arvutada mõne numbri faktoriaal.
) 2! (loeb: kaks faktoriaali)
Arvutamiseks korrutage faktoriaaliga kaasas olev number kõigi eelkäijatega kuni arvuni 1 järgmiselt:
2! = 2 ·1 = 2
B) 4! = 4 · 3 · 2 ·1 = 24
ç) 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120
d) 1! = 1
Ametlikult võime faktoori kirjutada järgmiselt:
Vaatleme loomulikku arvu n> 2. N-i faktoriaali tähistab n! ja see saadakse korrutades n kõigi selle positiivsete täisarvude eelkäijatega.
ei! = n (n - 1) · (n - 2) · (n - 3) ·… · 1
Pange tähele järgmisi faktoore:
4! ja 5!
Nüüd viige läbi mõlema arendamine:
5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1
4! = 4 · 3 · 2 ·1
Pange tähele, et 5 arendamisel! ilmub areng 4!. Nii saame kirjutada 5! seega:
5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1
5! = 5 · 4!
Näide 4
Arvutage faktoori sekundulguma:
Vaadake, et 15! töötati välja kuni 13!. Pange tähele ka seda, et murdosa loendis elemendid korrutatakse, nii et saame 13! "Lõigata", mille tulemuseks on ainult 15 · 14.
Tähelepanek:0! = 1
Tüüpide rühmitamine
Mõned loendamisprobleemid on keerukamad ja uute tööriistadega hõlpsamini lahendatavad. Neid tööriistu nimetatakse grupeerimiseks, kuna need rühmitavad elemente erineval viisil, muutes loendamisprotsessi lihtsamaks. Need rühmitused on: lihtne paigutus, permutatsioon ja lihtne kombinatsioon.
lihtne korraldus
Vaatleme n eraldiseisva elemendiga komplekti. nimetame seda kokkulepe n-st elemendid, mis on võetud p-st p-ni, mis tahes järjestus, mis on järjestatud p-ga, ja elementide hulgast valitud erinevad elemendid.
Seega saab p elementidest moodustatud alamhulkade arvuks n elemendi paigutus, mis on võetud p-st p-ni. Valemi, mis võimaldab meil arvutada korralduste arvu, annab:
Näide 5
Arvutage A väärtus4,2 + A5,2.
Avaldise väärtuse arvutamiseks määrame iga massiivi ja lisame need väärtused kokku. Iga massiivi väärtuse määramiseks peame valemis väärtused asendama.
Pange tähele, et n = 4 ja p = 2, mõlemad on valemis asendatud. Nüüd peame arvutama viie elemendi massiivi väärtuse, mis võetakse kaks korda kaks.
Niisiis, peame:
THE4,2 + A5,2
12 + 20
32
Näide 6
Mitu erinevat neljakohalist looduslikku arvu saab arvude 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ja 9 abil moodustada?
Selles ülesandes võime kasutada lihtsat korraldust, alates 2435 ≠ 4235. Näeme, et mõnel juhul ei erista elementide järjestus neid ja seega ei saa me paigutust kasutada.
Kuna me tahame määrata moodustatavate arvude koguarvu, siis pange tähele, et elementide koguarv on võrdne kaheksaja me tahame neid rühmitada neli, nii et:
lihtne permutatsioon
Vaatleme n elemendiga komplekti. nimetame seda lihtne permutatsioon n elemendist iga n elemendi paigutus n-st n-ni. Seega peame:
Nii et mõistete vahel pole segadust, tähistagem n elemendi lihtsat permutatsiooni P-gaei. Seega peame:
Pei = n!
Näide 7
Arvuta P7 ja P3.
Nende permutatsioonide arvutamiseks peame valemis väärtused asendama. Vaata:
P7 = 7 · 6 · 5· 4 · 3 · 2 · 1
P7 = 5040
P3 = 3 · 2 · 1
P3 = 6
Näide 8
Tehke kindlaks, kui palju anagramme võib olla sõnas Brasiilia.
Mõistame anagrammina kõiki võimalikke sõna tähtede ülekandeid, näiteks "Lisarb" on a anagramm sõnast Brasiilia. Anagrammide arvu määramiseks peame arvutama sõna tähtede permutatsiooni, nii et peame:
P6 = 6!
P6 = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1
P6 = 720
Seetõttu on sõnas Brasiilia 720 anagrammi.
Juurdepääs ka: Permutatsioon korduvate elementidega
lihtne kombinatsioon
Vaatleme komplekti A, millel on n erinevat elementi. nimetame seda kombinatsioon n-st elemendist, mis on viidud p-le p-le mis tahes A alamhulk, mille moodustavad p elemendid. Kombinatsiooni arvutamise valemi annab:
Näide 9
Arvutage 10 elemendi kombinatsioon neljast neljaks.
Näide 10
Kui palju nelinurksed kas saame vormida tippudega punktides A, B, C, D, E ja F?
Pange tähele, et ABCD nelinurk on selles kontekstis sama mis CDBA nelinurk, seega peaksime kasutama kombinatsiooni, mitte massiive. Meil on kokku kuus punkti ja tahame need neli neli kombineerida:
Seetõttu saame moodustada 15 erinevat nelinurka.
Kombinatoriaalne analüüs ja tõenäosus
Uuring tõenäosus on tihedalt seotud kombinatoorse analüüsi uurimisega.. Mõne tõenäosusprobleemi korral on vaja kindlaks määrata valimisruum, mis koosneb antud sündmuse kõigi võimalike tulemuste moodustatud komplektist.
Mõnel juhul on näidisruum E kirjutatud väga otse, nagu õiglase mündi klapil, kus võimalikud tulemused on pead või sabad ja tähistatud järgmiselt:
E = {pead, sabad}
Kujutage nüüd ette järgmist olukorda: stants visatakse kolm järjestikust korda ja oleme huvitatud selle katse valimisruumi määramisest. Pange tähele, et kõigi võimaluste üles kirjutamine pole enam lihtne ülesanne, peame kasutama loendamise (PFC) põhiprintsiipi. Sündmust saab läbi viia kolmes etapis, igas neist on meil kuus võimalust, kuna stantsil on kuus nägu:
1. etapp → kuus võimalust
2. etapp → kuus võimalust
3. etapp → kuus võimalust
PFC sõnul on meil kõigi võimaluste koguarv:
6 · 6 · 6
216
Nii võime öelda, et selle sündmuse näidisruum on 216.
Vaadake, et tõenäosuse uurimiseks see on on vaja põhiteadmisi kombinatoriaalsest analüüsist., sest katse valimisruumi määramata on võimatu lahendada enamikku tõenäosusharjutusi. Lisateavet selle matemaatika valdkonna kohta lugege teksti:Tõenäosus.
lahendatud harjutused
küsimus 1 - Määrake sõna loss anagrammide arv. Seejärel määrake c-tähega algavate anagrammide arv.
Resolutsioon
Anagrammide arvu määramiseks peame arvutama tähtede arvu permutatsiooni järgmiselt:
P7 = 7!
P7 = 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1
P7 = 5040
Sõnal on 5040 anagrammi. C-ga algavate anagrammide arvu kindlaksmääramiseks peame tähe fikseerima ja arvutama teiste anagrammid, vt:
Ç__ __ __ __ __ __
Kui parandame tähe c, pange tähele, et permutatsiooni arvutamiseks on jäänud kuus välja:
P6 = 6!
P6 = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1
P6 = 720
Nii et meil on 720 anagrammi sõnast loss, mis algab tähega c.
2. küsimus - Klassiruumis on viis meest ja seitse naist. Mitu kolme mehe ja nelja naise rühma saab moodustada?
Resolutsioon
Esiteks vaadake, et inimeste valimise järjekord pole oluline, näiteks João moodustatud rühm, Marcos ja José on sama rühm, mille moodustavad Marcos, João ja José, seetõttu peame kombinatsiooni kasutama arvutus.
Arvutame eraldi rühmade arvu, mida mehed ja naised võivad moodustada, ja sisse Korrutame siis need tulemused, sest iga meeste rühm saab segada iga rühmaga naised.
Mehed
Kokku → 5
Kogus rühmas → 3
Naised
Kokku → 7
Kogus rühmas → 4
Seetõttu on kolme mehe ja nelja naise moodustatavate rühmade koguarv:
Ç5,3 · Ç7,4
10 · 35
350
autor Robson Luiz
Matemaatikaõpetaja
Allikas: Brasiilia kool - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/analise-combinatoria.htm