O täisnurkne kolmnurk saab selle nime, sest ühe selle nurga mõõt on 90ºsee tähendab, et see on täisnurk. Olles üks enim uuritud hulknurki aastal tasapinna geomeetria, oli võimalik näha mõningaid seoseid nurkade ja ka selle joonise külgede vahel.
O Pythagorase teoreem, näiteks töötati välja pärast tõdemust, et kolmnurga külgede mõõtmiste vahel on seos. Seega, teades kolmnurga kahe külje mõõtmisi, on võimalik arvutada kolmanda külje väärtus. Pythagorase teoreem ütleb, et jalgade ruudu summa on alati võrdne hüpotenuusi ruuduga.
Lisaks Pythagorase teoreemile oli selle kolmnurga uurimise käigus välja töötatud veel üks oluline valdkond trigonomeetria, milles töötatakse välja siinuse, koosinuse ja puutujana tuntud kolmnurga külgede suhted. Nende põhjuste tõttu märgati, et võrdsete nurkadega täisnurga kolmnurkade külgede mõõtmiste vahel on proportsioon.
Loe ka: Millised on kolmnurga tähelepanuväärsed punktid?
Täisnurga kolmnurga omadused
Täisnurkne kolmnurk on a hulknurk, millel on kolm külge
ja kolm nurkaja üks neist nurkadest on sirge, see tähendab, et sellel on 90º. Kaks ülejäänud nurka on teravad, see tähendab vähem kui 90º. Pikim külg, mis on alati 90 ° nurga vastas, on tuntud kui hüpotenuusja ülejäänud kahte nimetatakse pecarid.Täisnurkne kolmnurk säilitab kõik hariliku kolmnurga teadaolevad omadused, näiteks asjaolu, et The sisenurkade summa olema võrdne 180º-ga. Kuna summa on alati 180º ja ühel selle nurgal on juba 90º, võime öelda, et ülejäänud kaks nurka on alati üksteist täiendavad, see tähendab, et nende summa on samuti võrdne 90º-ga.
a ja b → rinnad
c → hüpotenuus
Täisnurga kolmnurga ümbermõõt
Iga hulknurga ümbermõõt on kõigi selle külgede summa summa. Niisiis, täisnurga kolmnurga ümbermõõdu arvutamiseks lisage lihtsalt selle küljed.
P = a + b + c
täisnurkse kolmnurga ala
THE kolmnurga pindala ristkülik, samuti a kolmnurk mis tahes, on pool korruse ja kõrguse vahelisest korrutisest. Täisnurga kolmnurga puhul on eriline see, et selle üks jalg langeb kokku kõrgusega, kuna need on üksteisega risti, nii et ala arvutamiseks korrutame jalad ja jagame tulemuse kahega.
Näide:
Arvutage täisnurga kolmnurga ümbermõõt ja pindala, teades, et selle küljed on antud sentimeetrites.
P = 8 + 15 + 17
P = 40 cm
Nüüd arvutame ala:
Vaadake ka: Kolmnurga pindala arvutamine nurkade abil
Pythagorase teoreem
Matemaatika tuntuim teoreem on kahtlemata Pythagorase teoreem. Sellest teoreemist oli võimalik näha, et täisnurga kolmnurga küljed on omavahel seotud järgmiselt: antud täisnurkse kolmnurga korral jalgade ruudu summa on võrdne hüpotenuuse ruuduga.
a² + b² = c²
a ja b → rinnad
c → hüpotenuus
Selle teoreemi järgi on võimalik leida täisnurkse kolmnurga kummalgi küljel olev väärtus, kui on teada kaks ülejäänud.
Näide:
Mis on allpool asuva täisnurga kolmnurga hüpotenuusi väärtus, teades, et selle mõõtmed on antud sentimeetrites?
Pythagorase teoreemi rakendades peame:
6² + 8² = x²
36 + 64 = x2
100 = x²
x² = 100
x = √100
x = 10 cm
Selle olulise suhte kohta lisateabe saamiseks lugege teksti: TPythagorase eorem.
Trigonomeetria täisnurkses kolmnurgas
Nimi trigonomeetria viitab juba selle uurimisobjektile:
- tri → kolm;
- gono → nurk;
- mõõdikud → mõõdikud või mõõdikud.
Seega on trigonomeetria matemaatika valdkond, mis uurib kolmnurga nurkade mõõtmiste suhet ja siin me jääme täisnurksele kolmnurgale. Trigonomeetria uurib kolmnurga külgede suhet vastavalt selle kolmnurgale nurk. Sellega oli võimalik välja töötada olulised mõisted, mis on ka põhjusteks siinus, koosinus ja puutuja. Tasub mainida, et trigonomeetrilise ringi süvendamise abil töötati välja muud trigonomeetrilised põhjused.
Enne kui aru saada, milline neist suhetest on, on oluline mõista, mis on vastaskülg ja mis külgnev külg kolmnurga nurga all.
Nagu nägime, hüpotenuus on külg, mida tähistab segment AB, kuna see on alati kolmnurga pikim külg ja ka külg 90 ° nurga all. Teised küljed on tuntud kui jalad. Sõltuvalt nurkast, mille võtame võrdluseks, võib külg olla vastas või külgnev.
Pekarit nimetatakse vastupidiseks, kui see on suunatud nurga alla. Näiteks vastupidine nurk ꞵ on külg AC; teisest küljest on lado vastasnurk külg BC.
O pecar on tuntud kui külgnev kui ta moodustab hüpotenuusi lähedal nurga. Pange tähele, et nurk ꞵ on külgede BC ja AB vahel. Kuna AB on täisnurga kolmnurga hüpotenuus, on AB nurga cent kõrval asuv jalg. Sama arutluskäiku kasutades on võimalik näha, et lado AC on nurga ɑ külgnev külg.
Mõistes kolmnurga mõlemat külge, on võimalik mõista trigonomeetrilised suhted.
Trigonomeetriliste suhete rakendamiseks peame teadma tähelepanuväärseid nurki, see tähendab nurki 30º, 45º ja 60º. Enamik eksami- ja sisseastumiseksamiprobleeme on seotud nende nurkadega ning seetõttu on vaja teada nende iga põhjuste väärtusi.
Vaadake tabelit koos siinuse, koosinuse ja puutuja väärtustega märkimisväärsete nurkade jaoks:
Teades kolmnurga trigonomeetriliste suhete väärtust külje ja nurga abil, on trigonomeetriast võimalik leida täisnurga kolmnurga kõik küljed.
Näide:
Leidke x väärtus.
X väärtuse leidmiseks vaatame antud nurka. Pange tähele, et see külgneb küljega, millest me mõõdet tunneme, see tähendab, et AC külgneb 30 ° nurga all. Seejärel rakendame puutuja suhet, mis seob külgnevat külge ja hüpotenuusi. Tabelit vaadates teame ka, et 30. koosinus on võrdne √3 / 2.
Juurdepääs ka: 4 kõige tavalisemat viga trigonomeetrias
lahendatud harjutused
Küsimus 1 - (IFG) Theodolite on täppisinstrument horisontaalsete ja vertikaalsete nurkade mõõtmiseks, mida kasutatakse ehitustöödel. Neljakorruselise hoone värvimiseks palgati ettevõte. Värvitava ala koguse väljaselgitamiseks peab ta leidma hoone kõrguse. Üks inimene asetab instrumendi 1,65 meetri kõrgusele, leides 30 ° nurga, nagu joonisel näidatud. Eeldades, et teodoliit on hoonest 13√3 meetri kaugusel, siis kui suur on värvitava hoone kõrgus meetrites?
A) 11.65
B) 12.65
C) 13,65
D) 14,65
E) 15,65
Resolutsioon
Alternatiiv D
Kuna me tahame leida 30 ° nurga vastas asuva külje, teades, et 13√3 kaugus, mis on teodoliidi ja hoone vaheline kaugus, on 30 ° nurga all külgnev külg, kasutame puutujat:
Nüüd lisame 13 + 1,65 = 14,65 meetri kõrgused.
2. küsimus - Oma kinnistule istutamiseks jagas talunik ristkülikukujulise haritava maa selle diagonaalis pooleks, moodustades kaks täisnurkset kolmnurka. Selles jaotuses piiratakse pool maad traadiga, kasutades 4 traati. Kui palju kulub traadile, teades, et maa mõõtmed on 20 meetrit laiad ja 21 meetrit pikad?
A) 29 meetrit
B) 70 meetrit
C) 140 meetrit
D) 210 meetrit
E) 280 meetrit
Resolutsioon
Alternatiiv E.
Kõigepealt leiame maastiku diagonaali, mis on täisnurga kolmnurga hüpotenuus. Selle lihtsustamiseks teeme olukorra pildi:
Niisiis, peame:
d² = 20² + 21²
d² = 400 + 441
d² = 841
d = √841
d = 29
Ümbersõiduks peame läbima 29 + 20 + 21 = 70 meetrit, nagu saab olema 4 ringi, 70 · 4 = 280 meetrit.
Autor Raul Rodrigues de Oliveira
Matemaatikaõpetaja
Allikas: Brasiilia kool - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/triangulo-retangulo.htm
