Faktooring on matemaatikas kasutatav protsess, mis seisneb arvu või avaldise esitamises tegurite korrutisena.
Kirjutades polünoomi nagu teiste polünoomide korrutamine, võime väljendit sageli lihtsustada.
Tutvuge allpool toodud polünoomide jagamise tüüpidega
Tõendite ühine tegur
Seda tüüpi faktoriseerimist kasutame siis, kui on olemas tegur, mis kordub kogu polünoomi mõistes.
See tegur, mis võib sisaldada numbreid ja tähti, asetatakse sulgude ette.
Sulgudes saab tulemuseks polünoomi iga termini jagamine ühise teguriga.
Praktikas teeme järgmised sammud:
1º) Tehke kindlaks, kas on olemas arv, mis jagaks kõik polünoomi ja tähtede koefitsiendid, mida korratakse kõigis terminites.
2º) Pange ühised tegurid (number ja tähed) sulgude ette (tõendina).
3.) Sulgudes olev tulemus, jagades polünoomi iga teguri tõendusmaterjaliga. Kirjade puhul kasutame sama baasi võimude jagamise reeglit.
Näited
a) Milline on polünoomi 12x + 6y - 9z faktoreeritud vorm?
Esiteks tuvastame selle numbri 3 jagab kõik koefitsiendid ja et pole korduvat tähte.
Panime numbri 3 sulgude ette, jagame kõik terminid kolmega ja tulemus, mille paneme sulgudesse:
12x + 6a - 9z = 3 (4x + 2a - 3z)
b) tegur 2a2b + 3a3c - a4.
Kuna pole ühtegi numbrit, mis jagaks korraga 2, 3 ja 1, ei pane me sulgude ette ühtegi numbrit.
Kiri The korratakse kõigis tingimustes. Ühiseks teguriks saab olema The2, mis on kõige väiksem eksponent The väljenduses.
Jagame polünoomi iga termini The2:
2.2 b:2 = 2. koht2 - 2 b = 2b
33c:2 = 3. koht3 - 2 c = 3ac
The4: a2 =2
Panime The2 sulgude ees ja sulgudes jagamise tulemused:
2.2b + 3a3c - a4 =2 (2b + 3ac - a2)
rühmitamine
Polünoomis, mida ei eksisteeri, on tegur, mida korratakse kõigis terminites, saame kasutada faktoriseerimist rühmitades.
Selleks peame tuvastama terminid, mida saab rühmitada ühiste tegurite järgi.
Seda tüüpi faktoriseerimisel tõestame rühmituste ühised tegurid.
Näide
Faktor polünoom mx + 3nx + my + 3ny
Tingimused mx ja 3nx on ühise tegurina x. juba tingimused minu ja 3ny on ühise tegurina y.
Nende faktorite tõendamine:
x (m + 3n) + y (m + 3n)
Pange tähele, et (m + 3n) korratakse nüüd ka mõlemas mõistes.
Taas tõendades leiame polünoomi jaotatud kuju:
mx + 3nx + my + 3ny = (m + 3n) (x + y)
Täiuslik neljakandiline trinoom
Trinoomid on 3 terminiga polünoomid.
Täiuslikud ruudukujulised trinoomid2 + 2ab + b2 ja2 - 2ab + b2 tulenevad tüübi (a + b) tähelepanuväärsest tootest2 ja (a - b)2.
Seega on täiusliku ruudukujulise trinoomi faktoriseerimine järgmine:
The2 + 2ab + b2 = (a + b)2 (kahe termini summa ruut)
The2 - 2ab + b2 = (a - b)2 (kahe termini erinevuse ruut)
Et teada saada, kas trinoom on tõesti täiuslik ruut, teeme järgmist:
1º) Arvutage ruutude kujul olevate terminite ruutjuur.
2) Korrutage leitud väärtused 2-ga.
3.) Võrrelge leitud väärtust terminiga, millel pole ruute. Kui nad on võrdsed, on see täiuslik ruut.
Näited
a) tegur polünoom x2 + 6x + 9
Kõigepealt peame testima, kas polünoom on täiuslik ruut.
√x2 = x ja √9 = 3
Korrutades 2-ga, leiame: 2. 3. x = 6x
Kuna leitud väärtus on võrdne terminiga, mis ei ole ruuduline, on polünoom täiuslik ruut.
Seega on faktoriseerimine järgmine:
x2 + 6x + 9 = (x + 3)2
b) tegur polünoom x2 - 8x + 9a2
Testimine, kas see on täiuslik nelinurkne kolmiknurk:
√x2 = x ja √9y2 = 3a
Korrutamine: 2. x. 3y = 6x
Leitud väärtus ei ühti polünoomi mõistega (8xy ≠ 6xy).
Kuna see pole täiuslik nelinurkne trinoom, ei saa me seda tüüpi faktoriseerimist kasutada.
Kahe ruudu erinevus
A-tüüpi polünoomide faktoriseerimiseks2 - B2 kasutame märkimisväärset summa ja vahe korrutist.
Seega on seda tüüpi polünoomide faktoriseerimine järgmine:
The2 - B2 = (a + b). (a - b)
Faktoriks peame arvutama kahe termini ruutjuuri.
Seejärel kirjutage leitud väärtuste summa ja nende väärtuste vahe korrutis.
Näide
Faktor 9x binoom2 - 25.
Esmalt leidke terminite ruutjuur:
√9x2 = 3x ja √25 = 5
Kirjutage need väärtused summa ja vahe korrutisena:
9x2 - 25 = (3x + 5). (3x - 5)
täiuslik kuup
polünoomid a3 + 32b + 3ab2 + b3 ja3 - 32b + 3ab2 - B3 tulenevad tüübi (a + b) tähelepanuväärsest tootest3 või (a - b)3.
Seega on täiusliku kuubi kujundatud kuju:
The3 + 32b + 3ab2 + b3 = (a + b)3
The3 - 32b + 3ab2 - B3 = (a - b)3
Selliste polünoomide arvestamiseks peame arvutama kuubi kuupjuurte.
Pärast on vaja kinnitada, et polünoom on täiuslik kuup.
Kui jah, siis kuubisime leitud kuupjuurte väärtuste summa või lahutamise.
Näited
a) tegur polünoom x3 + 6x2 + 12x + 8
Kõigepealt arvutame kuupmeetri kuupjuure:
3√ x3 = x ja 3√ 8 = 2
Seejärel kinnitage, kas see on ideaalne kuup:
3. x2. 2 = 6x2
3. x. 22 = 12x
Kuna leitud mõisted on samad kui polünoomi mõisted, siis on see ideaalne kuup.
Seega on faktoriseerimine järgmine:
x3 + 6x2 + 12x + 8 = (x + 2)3
b) tegur polünoom a3 - 92 + 27. – 27
Kõigepealt arvutame kuupmeetri kuupjuure:
3kuni3 = a ja 3√ - 27 = - 3
Seejärel kinnitage, kas see on ideaalne kuup:
3. The2. (-3) = - 9. koht2
3. The. (- 3)2 = 27
Kuna leitud mõisted on samad kui polünoomi mõisted, siis on see ideaalne kuup.
Seega on faktoriseerimine järgmine:
The3 - 92 + 27a - 27 = (a - 3)3
Loe ka:
- Potentseerimine
- Polünoomid
- Polünoomfunktsioon
- algarvud
Lahendatud harjutused
Fakteerige järgmised polünoomid:
a) 33x + 22y - 55z
b) 6nx - 6ny
c) 4x - 8c + mx - 2mc
d) 49 -2
e) 92 + 12. + 4
a) 11. (3x + 2a - 5z)
b) 6n. (x - y)
c) (x - 2c). (4 + m)
d) (7 + a). (7 - a)
e) (3. + 2)2
Vaadake ka:
- Algebralised väljendid
- Harjutused algebraliste väljendite kohta
- Märkimisväärsed tooted
- Märkimisväärsed tooted - harjutused
