Pöördmaatriks: mis see on, kuidas leida harjutusi

Mõiste pöördmaatriks jõuab arvu pöördarvu mõistele väga lähedale. Meenutagem, et arvu pöördväärtus ei on number ei^-1, kus nende kahe vaheline korrutis võrdub väärtuse neutraalse elemendiga korrutamine, see tähendab number 1. Juba maatriksi M pöördväärtus on maatriks M^-1, kus korrutis M · M^-1 on võrdne identiteedimaatriksiga I_ei, mis pole midagi muud kui maatriksi korrutamise neutraalne element.

Selleks, et maatriksil oleks pöördväärtus, peab see olema ruut ja lisaks peab selle determinant olema erinev nullist, vastasel juhul pole pöördvõimalust. Pöördmaatriksi leidmiseks kasutame maatriksvõrrandit.

Loe ka: Kolmnurkne maatriks - ruudu maatriksi eriliik

Selleks, et maatriksil oleks pöörd, peab see olema ruut.

identiteedimaatriks

Selleks, et mõista, mis on pöördmaatriks, on kõigepealt vaja teada identiteedimaatriksit. Tunneme identiteedimaatriksina I ruutmaatriksit_ei kus kõik põhidiagonaali elemendid on võrdsed 1 ja teised terminid on võrdsed 0-ga.

THE identsusmaatriks on maatriksite vahelise korrutamise neutraalne element.

, st antud a peakorter M järjekorras n, maatriksi M ja maatriksi I vaheline korrutis_ei on võrdne maatriksiga M.

M · I_ei = M

Kuidas arvutada pöördmaatriks

M pöördmaatriksi leidmiseks on vaja lahendada maatriksi võrrand:

 M · M^-1 = Mina_ei

Näide

Leidke M. pöördmaatriks.

Kuna me ei tea pöördmaatriksit, esindame seda maatriksit algebraliselt:

Me teame, et nende maatriksite vaheline korrutis peab olema võrdne I-ga₂:

Nüüd lahendame maatriksi võrrandi:

Probleemi on võimalik jagada kaheks süsteemid võrrandid. Esimene kasutab maatriksi M · M esimest veergu^-1 ja identiteedimaatriksi esimene veerg. Niisiis, peame:

Süsteemi lahendamiseks eraldame₂₁ võrrandis II ja asendage võrrandis I.

I võrrandis asendades peame:

Kuidas leiame a väärtuse₁₁, siis leiame a väärtuse₂₁:

A väärtuse teadmine₂₁ ja₁₁, nüüd leiame teiste süsteemide väärtuse, seadistades teise süsteemi:

isoleerides₂₂ III võrrandis peame:

3₁₂ + 1₂₂ = 0

The₂₂ = - 3₁₂

IV võrrandi asendamine:

5₁₂ + 2₂₂ =1

5₁₂ + 2 · (- 3₁₂) = 1

5₁₂ - 6₁₂ = 1

- a₁₂ = 1 ( – 1)

The₁₂ = – 1

A väärtuse teadmine₁₂, leiame a väärtuse₂₂ :

The₂₂ = - 3₁₂

The₂₂ = – 3 · ( – 1)

The₂₂ = 3

Nüüd, kui me teame kõiki maatriksi M tingimusi^-1, on seda võimalik esindada:

Loe ka: Maatriksite liitmine ja lahutamine

Pöördmaatriksi omadused

On omadusi, mis tulenevad pöördmaatriksi määratlemisest.

• 1. vara: maatriksi M pöördväärtus^-1 on võrdne maatriksiga M. Pöördmaatriksi pöördväärtus on alati maatriks ise, see tähendab (M^-1)^-1 = M, sest me teame, et M^-1 M = I_ei, seetõttu M^-1 on M pöördväärtus ja ka M on M pöördnäitaja^-1.
• 2. vara: identiteedimaatriksi pöördväärtus on ise: I^-1 = I, sest identsusmaatriksi korrutis iseenesest annab identiteedimaatriksi, see tähendab I_ei · I_ei = Mina_ei.
• 3. vara: pöördarv kahe maatriksi korrutisKas sa oled on võrdne inversi korrutisega:

(M × H)^-1 = M^-1 · A^-1.

• 4. kinnistu: ruudu maatriksil on pöördarvu siis ja ainult siis, kui see on määrav on erinev 0-st, see tähendab det (M) ≠ 0.

lahendatud harjutused

1) Arvestades maatriksit A ​​ja maatriksit B, teades, et need on inversioonid, on x + y väärtus:

a) 2.

b) 1.

c) 0.

d) -1.

e) -2.

Resolutsioon:

Alternatiiv d.

Võrrandi ülesehitamine:

A · B = I 

Teise veeru järgi, mis võrdub tingimustega, peame:

3x + 5y = 0 → (I)

2x + 4y = 1 → (II)

X eraldamine I-ks:

Asendamine sisse võrrand II, peame:

Teades y väärtust, leiame x väärtuse:

Nüüd arvutame x + y:

2. küsimus

Maatriksil on pöördvõimalus ainult siis, kui selle determinant erineb 0-st. Allpool olevat maatriksit vaadates, millised on x väärtused, mis muudavad maatriksi pöördvõrdeliseks?

a) 0 ja 1.

b) 1 ja 2.

c) 2 ja - 1.

d) 3 ja 0.

e) - 3 ja - 2.

Resolutsioon:

B. Alternatiiv

A determinanti arvutamisel soovime väärtusi, kus det (A) = 0.

det (A) = x · (x - 3) - 1 · (- 2)

det (A) = x² - 3x + 2

det (A) = x2 - 3x + 2 = 0

lahendamine 2. astme võrrand, Me peame:

• a = 1
• b = - 3
• c = 2

Δ = b² - 4ac

Δ = (– 3) ² – 4·1·2

Δ= 9 – 8

Δ = 1

Autor Raul Rodrigues de Oliveira
Matemaatikaõpetaja

Allikas: Brasiilia kool - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/matriz-inversa.htm