Kompleksarvude kiirgus trigonomeetrilisel kujul

Trigonomeetrilises vormis kompleksarvudega toimingud hõlbustavad arvutamist selle komplekti elementidega. Trigonomeetrilises vormis olevate komplekside korrutamine ja jagamine toimub peaaegu koheselt, samas kui algebralises vormis nõuab protsess rohkem arvutusi. Komplekside võimendamist ja kiiritamist trigonomeetrilises vormis hõlbustab ka Moivre'i valemite kasutamine. Vaatame, kuidas nende numbrite juurdumine toimub:
Vaatleme suvalist kompleksarvu z = a + bi. Z trigonomeetriline vorm on:

Z-indeksi juured on antud teises Moivre'i valemis:

Näide 1. Leidke 2i ruutjuured.
Lahendus: Kõigepealt peame kirjutama kompleksarvu trigonomeetrilisel kujul.
Kogu kompleksarv on kujul z = a + bi. Niisiis, peame:

Samuti teame, et:


Siinus- ja koosinusväärtuste põhjal võime järeldada, et:

Seega on z = 2i trigonomeetriline vorm:

Arvutame nüüd Moivre valemi abil z ruutjuured.

Kuna me tahame z ruutjuuri, saame kaks erinevat juurt z0 ja z1.
Kui k = 0, saame

Kui k = 1, on meil:

Või

Näide 2. Hangi z = 1 ∙ kuupjuured (cosπ + i ∙ senπ)


Lahendus: kuna kompleksarv on juba trigonomeetrilises vormis, kasutage lihtsalt Moivre'i valemit. Lausest järeldub, et ø = π ja | z | = 1. Seega

Meil on kolm erinevat juurt, z0, z1 ja z2.
Kui k = 0

Kui k = 1

Või z1 = - 1, kuna cos π = - 1 ja sin π = 0.
K = 2 korral

Autor Marcelo Rigonatto
Statistika ja matemaatilise modelleerimise spetsialist
Brasiilia koolimeeskond

Kompleksarvud - Matemaatika - Brasiilia kool

Allikas: Brasiilia kool - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/radiciacao-numeros-complexos-na-forma-trigonometrica.htm

Stephen Jay Gould: viimase aja suurim teadussuhtleja

Viieaastaselt külastas poiss nimega Stephen Jay Gould NY loodusmuuseumi. Tyrannosaurus Rexi luust...

read more

Sergei Pavlovitš Korol [e / yo] v

Ukrainas Žhitomiris sündinud Vene insener, kes vastutab Nõukogude kosmoseprojektide elluviimise e...

read more

Sebastião Ferreira Maia, Tião Maia

Minas Geraisi osariigis Passoses sündinud Brasiilia rantšo ja ärimees, tuntud kui O Barão do Gado...

read more