Harjutage oma teadmisi lineaarsete süsteemide kohta, mis on oluline matemaatika teema, mis hõlmab samaaegsete võrrandite uurimist. Paljude praktiliste rakenduste puhul kasutatakse neid erinevate muutujatega seotud probleemide lahendamiseks.
Kõik küsimused lahendatakse samm-sammult, kus kasutame erinevaid meetodeid, nagu: asendamine, liitmine, elimineerimine, skaleerimine ja Crameri reegel.
1. küsimus (asendusmeetod)
Määrake järjestatud paar, mis lahendab järgmise lineaarvõrrandisüsteemi.
Vastus:
X eraldamine esimeses võrrandis:
Asendades x teise võrrandiga:
y väärtuse asendamine esimeses võrrandis.
Niisiis, järjestatud paar, mis süsteemi lahendab, on:
2. küsimus (mastaabimeetod)
Järgmise lineaarvõrrandisüsteemi lahendus on:
Vastus: x = 5, y = 1, z = 2
Süsteem on juba ešelonvormis. Kolmandal võrrandil on kaks nullkoefitsienti (y = 0 ja x = 0), teisel võrrandil on nullkoefitsient (x = 0) ja kolmandal võrrandil pole nullkoefitsiente.
Ešelonsüsteemis lahendame "alt üles" ehk alustame kolmandast võrrandist.
Liikudes ülemise võrrandi juurde, asendame z = 2.
Lõpuks asendame esimeses võrrandis z = 2 ja y = 1, et saada x.
Lahendus
x = 5, y = 1, z = 2
3. küsimus (Crameri reegel või meetod)
Lahendage järgmine lineaarvõrrandisüsteem:
Vastus: x = 4, y = 0.
Kasutades Crameri reeglit.
Samm 1: määrake determinandid D, Dx ja Dy.
Koefitsientide maatriks on:
Selle määraja:
D = 1. 1 - 2. (-1)
D = 1 - (-2) = 1 + 2 = 3
Dx arvutamiseks asendame x-i liikmete veeru sõltumatute liikmete veeruga.
Dx = 4. 1 - 8. (-1)
Dx = 4 + 8 = 12
Dy arvutamiseks asendame y liikmed sõltumatute liikmetega.
Dy = 1. 8 - 2. 4
Dy = 8-8
Dy = 0
samm 2: määrake x ja y.
x määramiseks teeme:
y määramiseks teeme:
küsimus 4
T-särgi ja mütsi müüja spordiüritusel müüs 3 t-särki ja 2 mütsi, kogudes kokku 220,00 R$. Järgmisel päeval müüs ta 2 särki ja 3 mütsi, kogudes 190,00 R$. Mis oleks T-särgi ja mütsi hind?
a) T-särk: 60,00 BRL | Kork: 40,00 BRL
b) T-särk: 40,00 BRL | Kork: 60,00 BRL
c) T-särk: 56,00 BRL | Kork: 26,00 BRL
d) T-särk: 50,00 BRL | Kork: 70,00 BRL
e) T-särk: 80,00 BRL | Kork: 30,00 BRL
Märgistame T-särkide hinna c ja mütside hinna b.
Esimesel päeval on meil:
3c + 2b = 220
Teist päeva on meil:
2c + 3b = 190
Moodustame kaks võrrandit kahe tundmatuga, c ja b. Seega on meil 2x2 lineaarvõrrandi süsteem.
Resolutsioon
Crameri reegli kasutamine:
1. samm: koefitsientide maatriksi determinant.
2. samm: determinant Dc.
Asendame c veeru sõltumatute terminite maatriksiga.
3. samm: determinant Db.
4. samm: määrake c ja b väärtus.
Vastus:
T-särgi hind on 56,00 R$ ja müts 26,00 R$.
küsimus 5
Kinos maksab täiskasvanutele 10,00 R$ pileti kohta ja lastele 6,00 R$ pileti kohta. Ühe päevaga müüdi 80 piletit ja kogusumma oli 700,00 R$. Kui palju iga tüübi pileteid müüdi?
a) Täiskasvanud: 75 | Lapsed: 25
b) Täiskasvanud: 40 | Lapsed: 40
c) Täiskasvanud: 65 | Lapsed: 25
d) Täiskasvanud: 30 | Lapsed: 50
e) Täiskasvanud: 25 | Lapsed: 75
Anname sellele nimeks The pileti hind täiskasvanutele ja w lastele.
Seoses piletite koguarvuga, mis meil on:
a + c = 80
Saadud väärtuse kohta on meil:
10a + 6c = 700
Moodustame kahe võrrandi ja kahe tundmatuga lineaarvõrrandisüsteemi ehk 2x2 süsteemi.
Resolutsioon
Kasutame asendusmeetodit.
A eraldamine esimeses võrrandis:
a = 80 - c
Asendades a teise võrrandiga:
10. (80 - c) + 6c = 700
800 -10c + 6c = 700
800 - 700 = 10c - 6c
100 = 4c
c = 100/4
c = 25
Teises võrrandis c asendamine:
6a + 10c = 700
6a+10. 25 = 700
6 a + 250 = 700
6a = 700–250
6a = 450
a = 450/6
a = 75
küsimus 6
Kauplus müüb T-särke, lühikesi pükse ja kingi. Esimesel päeval müüdi 2 T-särki, 3 lühikesi pükse ja 4 paari kingi, kokku 350,00 R$. Teisel päeval müüdi 3 T-särki, 2 lühikest püksi ja 1 paar kingi kokku 200,00 R$. Kolmandal päeval müüdi 1 T-särk, 4 lühikesi pükse ja 2 paari kingi, kokku 320,00 R$. Kui palju maksaksid T-särk, lühikesed püksid ja kingapaar?
a) T-särk: 56,00 BRL | Bermuda: 24,00 R$ | Kingad: 74,00 BRL
b) T-särk: 40,00 BRL | Bermuda: 50,00 R$ | Kingad: 70,00 BRL
c) T-särk: 16,00 BRL | Bermuda: 58,00 R$ | Kingad: 36,00 BRL
d) T-särk: 80,00 BRL | Bermuda: 50,00 R$ | Kingad: 40,00 BRL
e) T-särk: 12,00 BRL | Bermuda: 26,00 R$ | Kingad: 56,00 BRL
- c on särkide hind;
- b on lühikeste pükste hind;
- s on kingade hind.
Esimese päeva jaoks:
2c + 3b + 4s = 350
Teiseks päevaks:
3c + 2b + s = 200
Kolmandat päeva:
c + 4b + 2s = 320
Meil on kolm võrrandit ja kolm tundmatut, mis moodustavad 3x3 lineaarsete võrrandite süsteemi.
Kasutades Crameri reeglit.
Koefitsientide maatriks on
Selle determinant on D = 25.
Vastuste veeru maatriks on järgmine:
Dc arvutamiseks asendame vastuste veeru maatriksi koefitsientide maatriksi esimese veeruga.
alalisvoolu = 400
Db arvutamiseks:
Db = 1450
Ds arvutamiseks:
Ds = 900
C, b ja s määramiseks jagame determinandid Dc, Db ja Ds peadeterminandiga D.
küsimus 7
Restoran pakub kolme erinevat rooga: liha, salat ja pitsa. Esimesel päeval müüdi 40 liharooga, 30 salatirooga ja 10 pitsat, kokku 700,00 R$. Teisel päeval müüdi 20 liharooga, 40 salatirooga ja 30 pitsat kokku 600 R$ eest. Kolmandal päeval müüdi 10 liharooga, 20 salatirooga ja 40 pitsat kokku 500 R$ eest. Kui palju iga roog maksaks?
a) liha: 200,00 BRL | salat: 15,00 R$ | pitsa: 10,00 BRL
b) liha: 150,00 R$ | salat: 10,00 R$ | pitsa: 60,00 BRL
c) liha: 100,00 BRL | salat: 15,00 R$ | pitsa: 70,00 BRL
d) liha: 200,00 BRL | salat: 10,00 R$ | pitsa: 15.00 BRL
e) liha: 140,00 BRL | salat: R$ 20.00 | pitsa: 80,00 BRL
Kasutades:
- c liha jaoks;
- s salati jaoks;
- p pitsa jaoks.
Esimesel päeval:
Teisel päeval:
Kolmandal päeval:
Iga roa hinna saab süsteemi lahendamisega:
Resolutsioon
Eliminatsioonimeetodi kasutamine.
Korrutage 20c + 40s + 30p = 6000 2-ga.
Lahutage esimesest saadud teine maatriksvõrrand.
Ülaltoodud maatriksis asendame selle võrrandi teisega.
Korrutame ülaltoodud kolmanda võrrandi 4-ga.
Lahutades esimesest võrrandist kolmanda, saame:
Saadud võrrandi asendamine kolmandaga.
Lahutades võrrandid kaks ja kolm, saame:
Kolmandast võrrandist saame p = 80.
Asendades p teises võrrandis:
50s + 50,80 = 5000
50s + 4000 = 5000
50s = 1000
s = 1000/50 = 20
s ja p väärtuste asendamine esimeses võrrandis:
40c + 30,20 + 10,80 = 7000
40c + 600 + 800 = 7000
40c = 7000–600–800
40c = 5600
c = 5600 / 40 = 140
Lahendus
p = 80, s = 20 ja c = 140
küsimus 8
(UEMG) Plaanis on süsteem tähistab joonte paari
a) kokkulangevus.
b) eristatav ja paralleelne.
c) samaaegsed jooned punktis ( 1, -4/3 )
d) samaaegsed jooned punktis ( 5/3, -16/9 )
Esimese võrrandi korrutamine kahega ja kahe võrrandi liitmine:
Asendades x võrrandis A:
küsimus 9
(PUC-MINAS) Teatud labor saatis apteekidele A, B ja C 108 tellimust. Teadaolevalt oli apteeki B saadetud tellimuste arv kaks korda suurem kui kahele teisele apteekile saadetud tellimuste koguarv. Lisaks lähetati apteeki C kolm tellimust, mis ületas poole apteeki A saadetud kogusest.
Selle info põhjal on ÕIGE väita, et apteekidele B ja C saadetud tellimuste koguarv oli
a) 36
b) 54
c) 86
d) 94
Vastavalt avaldusele on meil:
A + B + C = 108.
Samuti, et B kogus oli kaks korda suurem kui A + C.
B = 2 (A + C)
Apteeki C saadeti kolm tellimust, üle poole apteeki A lähetatud kogusest.
C = A/2 + 3
Meil on võrrandid ja kolm tundmatut.
Asendusmeetodi kasutamine.
1. samm: asendage kolmas teisega.
2. samm: asendage saadud tulemus ja kolmas võrrand esimesega.
3. samm: B ja C väärtuste määramiseks asendage A väärtus.
B = 3A + 6 = 3,22 + 6 = 72
C jaoks:
4. samm: lisage B ja C väärtused.
72 + 14 = 86
küsimus 10
(UFRGS 2019) Nii et lineaarvõrrandisüsteem võimalik ja kindel, see on vajalik ja piisav
a) a ∈ R.
b) a = 2.
c) a = 1.
d) a ≠ 1.
c) a ≠ 2.
Üks viise süsteemi võimalikuks ja määravaks klassifitseerimiseks on Crameri meetod.
Selle tingimuseks on, et determinandid erinevad nullist.
Põhimaatriksi determinandi D võrdumine nulliga:
Lineaarsete süsteemide kohta lisateabe saamiseks:
- Lineaarsed süsteemid: mis need on, tüübid ja kuidas neid lahendada
- Võrrandisüsteemid
- Lineaarsete süsteemide skaleerimine
- Crameri reegel
Rohkemate harjutuste jaoks:
- 1. astme võrrandisüsteemid
ASTH, Rafael. Harjutused lahendatud lineaarsüsteemide kohta.Kõik Matter, [n.d.]. Saadaval: https://www.todamateria.com.br/exercicios-de-sistemas-lineares-resolvidos/. Juurdepääs aadressil:
Vaata ka
- Lineaarsed süsteemid
- Lineaarsete süsteemide skaleerimine
- Võrrandisüsteemid
- 11 maatrikskorrutamise harjutust
- Teise astme võrrand
- Ebavõrdsuse harjutused
- 27 matemaatika põhiharjutust
- Crameri reegel