Sisepoolitaja teoreem: mis see on, tõestus

THE Sisepoolitajate teoreem töötati välja spetsiaalselt kolmnurgad ja näitab, et kui jälgime kolmnurga sisemist poolitajat, jagab poolitaja kohtumispunkt selle vastasküljega selle külje joonelõigud võrdeline selle nurga külgnevate külgedega. Sisepoolitajate teoreemi rakendamisega kolmnurga külje või lõikude väärtust on võimalik määrata nendevahelist proportsiooni kasutades.

Vaata ka: Mediaan, nurgapoolitaja ja kolmnurga kõrgus – mis vahe on?

Kokkuvõte sisemise poolitaja teoreemi kohta:

  • Poolitaja on a kiir mis jagab nurga kaheks ühtseks nurgaks.

  • Sisepoolitaja teoreem on omane kolmnurkadele.

  • See teoreem tõestab, et poolitaja jagab vastaskülje pooleks proportsionaalsed segmendid külgnevatele külgedele nurk.

Videotund sisepoolitajate teoreemi kohta

Ära nüüd lõpeta... Pärast kuulutust on rohkem ;)

Mis on poolitajateoreem?

Enne kui mõistame, mida sisepoolitaja teoreem ütleb, on oluline teada, mis on nurga poolitaja. See on kiir, mis jagab nurga kaheks ühtseks osaks.st kaks osa, millel on sama mõõt.

Nurga A poolitaja, mis on märgitud oranžiga.
Nurga poolitaja AD piiritlemine.

Mõistes, mis on poolitaja, märkame, et see eksisteerib kolmnurga sisenurga all. Kui me piiritleme kolmnurga nurga poolitaja, jagab see vastaskülje kaheks segmendiks. Mis puudutab sisemist poolitajat, selle teoreem ütleb, et kaks temaga jagatud segmenti on võrdelised nurga külgnevate külgedega.

 Beeži värvi kolmnurk ABC, mille servad on oranžid ja nurk on tähistatud rohelisega, mida jälgib poolitaja BD.

Pange tähele, et poolitaja jagab külje AC kaheks segmendiks, AD ja DC. Poolitajate teoreem näitab seda:

\(\frac{\overline{AB}}{\overline{AD}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{CD}}\)

Tea rohkem: Pythagorase teoreem — teine ​​kolmnurkade jaoks välja töötatud teoreem

Sisepoolitaja teoreemi tõestus

Allpool olevas kolmnurgas ABC piiritleme lõigu BD, mis on selle kolmnurga poolitaja. Lisaks jälgime selle külje CB ja segmendi AE pikenemist paralleelselt BD-ga:

Beeži värvi ABC kolmnurk poolitaja BD ja laiendiga AEB

Nurk AEB on kongruentsed nurgaga DBC, sest CE on a otse risti paralleelsete segmentide AE ​​ja BD suhtes.

rakendades Thalese teoreem, jõudsime järeldusele, et:

\(\frac{\overline{BE}}{\overline{AD}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{DC}}\)

Nüüd meie jääb üle näidata, et BE = AB.

Kuna x on nurga ABD ja DBC mõõt, saame nurga ABE analüüsimisel:

ABE = 180 - 2x

Kui y on nurga EAB mõõt, on meil järgmine olukord:

ABC kolmnurk beež, poolitaja BD, pikendusega AEB ja nurgad, mille laiendis on tundmatu.

Me teame, et kolmnurga sisenurkade summa ABE on 180°, seega saame arvutada:

180–2x + x + y = 180

– x + y = 180–180

– x + y = 0

y = x

Kui nurga x ja y mõõt on sama, on kolmnurk ABE võrdhaarne. Seetõttu külg AB = AE.

Kuna kolmnurga sisenurkade summa on alati 180°, on kolmnurgas ACE:

x + 180 - 2x + y = 180

– x + y = 180–180

– x + y = 0

y = x

Kuna y = x, on kolmnurk ACE võrdhaarne. Seetõttu on segmendid AE ja AC kongruentsed. AE vahetamine AC in vastu põhjus, on tõestatud, et:

\(\frac{\overline{AB}}{\overline{AD}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{DC}}\)

Näide:

Leidke x väärtus järgmises kolmnurgas:

Valge kolmnurk ABC, külgedega 6, 8 ja 3 + x, poolitaja BD joonega.

Kolmnurka analüüsides saame järgmise suhte:

\(\frac{6}{3}=\frac{8}{x}\)

Ristkorrutamine:

6x = 8 ⋅ 3

6x = 24

\(x=\frac{24}{6}\)

x = 4

Loe ka: Kolmnurga märkimisväärsed punktid - mis need on?

Lahendati sisepoolitajate teoreemi ülesandeid

küsimus 1

Vaadates allolevat kolmnurka, võime öelda, et x väärtus on:

 Valge kolmnurk ABC külgedega 27, 30 ja 18 ja poolitaja BD.

a) 9

B) 10

C) 11

D) 12

E) 13

Resolutsioon:
Alternatiiv D

Rakendades sisemise poolitaja teoreemi, saame järgmise arvutuse:

\(\frac{27}{30-x}=\frac{18}{x}\)

Ristkorrutamine:

\(27x=18\ \left (30-x\right)\)

\(27x\ =\ 540\ -\ 18x\ \)

\(27x\ +\ 18x\ =\ 540\ \)

\(45x\ =\ 540\ \)

\(x=\frac{540}{45}\)

\(x\ =\ 12\)

küsimus 2

Analüüsige järgmist kolmnurka, teades, et teie mõõtmised on antud sentimeetrites.

 Valge kolmnurk ABC, külgedega 2x, 4x – 9 ja 12 cm, poolitaja BD joonega.

Kolmnurga ABC ümbermõõt on võrdne:

A) 75 cm

B) 56 cm

C) 48 cm

D) 24 cm

E) 7,5 cm

Resolutsioon:

Alternatiiv C

Kasutades poolitajateoreemi, leiame esmalt x väärtuse:

\(\frac{2x}{5}=\frac{4x-9}{7}\)

\(5\ \left (4x-9\right)=2x\cdot7\)

\(20x\ -\ 45\ =\ 14x\)

\(20x\ -\ 14x\ =\ 45\ \)

\(6x\ =\ 45\ \)

\(x=\frac{45}{6}\)

\(x\ =\ 7,5\)

Seega mõõdavad tundmatud küljed:

\(2\cdot7,5\ =\ 15\ \)

\(4\cdot7,5\ -\ 9\ =\ 21\ \)

Meenutades, et mõõturi pikkus kasutatud oli cm, the ümbermõõt selle kolmnurga väärtus on võrdne:

P = 21 + 15 + 5 + 7 = 48 cm

Autor: Raul Rodrigues de Oliveira
Matemaatika õpetaja

Kas soovite sellele tekstile viidata koolis või akadeemilises töös? Vaata:

OLIVEIRA, Raul Rodrigues de. "Sisepoolitaja teoreem"; Brasiilia kool. Saadaval: https://preprod.brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-da-bissetriz-interna.htm. Sissepääs 04.04.2022.

Kaguosariigid: mis need on, pealinnad, kaart

Kaguosariigid: mis need on, pealinnad, kaart

Sina kaguosariigid Brasiiliast on neli:Espírito Santo (ES);Minas Gerais (MG);Rio de Janeiro – RJ)...

read more

Jean-Luc Godard, ikooniline uue laine filmitegija, suri 91-aastaselt

O Prantsuse filmirežissöör Jean-Luc Godard suri teisipäeval, 13. septembril 91-aastaselt. Režissö...

read more
31. oktoober — Saci päev: päritolu, tähtsus

31. oktoober — Saci päev: päritolu, tähtsus

Saci päeva tähistatakse Brasiilias 31. oktoobril, samal kuupäeval, mil Halloween (Halloweeni päev...

read more