Domeen, vahemik ja vahemik on matemaatiliste funktsioonidega seotud numbrilised komplektid. Need teisendavad väärtusi oma moodustamisseaduste kaudu ja transpordivad need väljundkomplektist, domeenist, saabumiskomplekti, vahemikku.
Domeenikomplektist tulevad väärtused, mis teisendatakse funktsiooni valemi ehk moodustamisseadusega. Seejärel jõuavad need väärtused kooddomeeni.
Alamhulka, mille moodustavad kooddomeeni saabuvad elemendid, nimetatakse pildikogumiks.
Sel viisil on domeen, vahemik ja vahemik mittetühjad hulgad ja need võivad olla lõplikud või lõpmatud.
Funktsioonide uurimisel on vaja täpsustada, millised elemendid või milline on nende hulkade ulatus. Näiteks: naturaalarvude hulk või reaalarvude hulk.
Kui domeen A, milles iga sellesse kuuluv element x teisendatakse funktsiooni abil elemendiks y, mis kuulub vahemikku B, nimetatakse iga elementi y x kujutiseks.
Funktsiooni domeeni ja vahemiku määramiseks kasutatakse tähistust:
(loeme f-i A-st B-ni)
Need teisendusseadused on avaldised, mis hõlmavad tehteid ja arvväärtusi.
Näide
Funktsioon f: A→B, mis on defineeritud moodustamise seadusega f(x) = 2x, kus selle domeeniks on hulk A={1, 2, 3} ja vahemikku B={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} saab esitada tabelis olevate väärtustega ja diagrammid:
|
Domeen x |
f(x) = 2x |
Pilt ja |
|---|---|---|
| 1 | f(1) = 2. 1 | 2 |
| 2 | f(2) = 2. 2 | 4 |
| 3 | f(3) = 2. 3 | 6 |
Tabelitulemuste diagrammideks korraldamine:
Domeen
Funktsiooni f domeen D on väljundkomplekt, mis koosneb funktsioonile rakendatud elementidest x.
Geomeetriliselt moodustavad domeenielemendid Descartes'i tasapinnal abstsissi x-telje.
noodikirjas domeeni tähistab täht noole ees.
Igal domeeni elemendil x on kooddomeenis vähemalt üks pilt y.
kooddomeen
CD domeen on saabumiskomplekt. noodikirjas on kujutatud noole paremal küljel.
Pilt
Image Im on vahemiku alamhulk, mille moodustavad funktsioonist väljuvad ja vahemikku jõudvad elemendid y, millel võib olla sama või väiksem arv elemente.
Sel viisil sisaldub funktsiooni f kujutiste hulk kooddomeenis.
Geomeetriliselt moodustavad kujutise hulga elemendid Descartes'i tasapinnal ordinaatide y-telje.
Tavaliselt öeldakse, et y on funktsiooni f(x) poolt omandatud väärtus ja sel viisil kirjutame:
Võimalik, et sama element y on enam kui ühe elemendi x kujutis domeenis.
Näide
funktsioonis seadusega määratletud
, domeeni sümmeetriliste x-väärtuste jaoks on meil üks y-kujutis.
kohta lisateavet funktsioonid.
Domeeni-, kaasdomeeni- ja pildiharjutused
1. harjutus
Arvestades hulgad A = {8, 12, 13, 20, 23} ja B = {10, 17, 22, 24, 25, 27, 41, 46, 47, 55}, määrake: domeeni domeen, vahemik ja vahemik funktsioonid.
a) f: A → B defineeritud f (x) = 2x + 1
b) f: A → B defineeritud f (x) = 3x - 14
a) f: A → B defineeritud f (x) = 2x + 1
Domeen A = {8, 12, 13, 20, 23}
Domeen B = {10, 17, 22, 24, 25, 27, 41, 46, 47, 55}
Pilt Im (f) = {17,25,27,41,47}
| D(f) | f(x)=2x+1 | ma (f) |
|---|---|---|
| 8 | f (8) = 2,8+1 | 17 |
| 12 | f (12) = 2,12+1 | 25 |
| 13 | f (13) = 2,13+1 | 27 |
| 20 | f(20)=2,20+1 | 41 |
| 23 | f (23) = 2,23+1 | 47 |
b) f: A → B defineeritud f (x) = 3x - 14
Domeen A = {8, 12, 13, 20, 23}
Domeen B = {10, 17, 22, 24, 25, 27, 41, 46, 47, 55}
Pilt Im (f) ={}
| D(f) | f(x) = 3x - 14 | ma (f) |
|---|---|---|
8 |
f (8) = 3,8-14 | 10 |
| 12 | f (12) = 3,12-14 | 24 |
| 13 | f (13) = 3,13-14 | 25 |
| 20 | f (20) = 3,20-14 | 46 |
| 23 | f (23) = 3,23-14 | 55 |
2. harjutus
Määrake järgmiste funktsioonide valdkond:
Domeen on võimalike väärtuste kogum, mille x võib võtta.
a) Teame, et nulliga 0 jagamine ei ole võimalik, seega peab nimetaja olema nullist erinev.
Loeme: x kuulub reaalarvude hulka, nii et x erineb 2-st.
b) Negatiivsel arvul pole ruutjuurt. Seetõttu peab radikand olema nullist suurem või sellega võrdne.
Loeme: x kuulub reaalarvude hulka, nii et x on suurem kui 5 või sellega võrdne.
3. harjutus
Arvestades täisarvude hulga domeeniga funktsiooni mis on f(x) kujutiste hulk?
Täisarvude hulk Z lubab nii negatiivseid kui positiivseid arve, kui kaks järjestikust arvu on üksteisest 1 ühiku kaugusel.
Sel viisil lubab funktsioon positiivseid ja negatiivseid väärtusi. Kuna aga x on ruudus, tagastab iga väärtus, isegi negatiivne, positiivse väärtuse.
Näide
f(-2) = (-2)² = -2. (-2) = 4
Nii on pildil ainult naturaalarvud.
Teid võivad huvitada:
- süstimisfunktsioon
- Surjektiivne funktsioon
- Bijektsiooni funktsioon
- Pöördfunktsioon
- Komposiitfunktsioon
Rakendused ja kurioosumid
Funktsioone saab kasutada iga nähtuse uurimisel, mille puhul üks parameeter sõltub teisest. Nagu näiteks mööblieseme kiirus ajas, happesuse tunnustega ravimi mõju maos, boileri temperatuur koos kütusekogusega.
Funktsioonid esinevad reaalsetes nähtustes ja seetõttu on neid rakendatud kõigis teaduslikes ja inseneriuuringutes.
Funktsioonide uurimine pole värske, mõned antiikajast pärinevad andmed Babüloonia tabelites näitavad, et need olid juba matemaatika osa. Aastate jooksul on tähistus, nende kirjutamisviis, saanud kaastöid mitmelt matemaatikult ja paranenud, kuni me neid tänapäeval kasutame.
