Maatriksid: kommenteeritud ja lahendatud harjutused

Matrix on reaalarvudest moodustatud tabel, mis on paigutatud ridadesse ja veergudesse. Maatriksis ilmuvaid numbreid nimetatakse elementideks.

Kasutage lahendatud ja kommenteeritud sisseastumiseksami küsimusi, et kustutada kõik selle sisuga seotud kahtlused.

Sisseastumiseksami probleemid on lahendatud

1) Unicamp - 2018

Olgu a ja b reaalarvud, nii et maatriks A = vastab võrrandile A²= aA + bI, kus I on järjekorra 2 identiteedimaatriks. Nii et korrutis ab on võrdne

a) −2.
b) −1.
c) 1.
d) 2.

Vt vastus

Toote a.b väärtuse väljaselgitamiseks peame kõigepealt teadma a ja b väärtusi. Vaatleme siis ülesandes antud võrrandit.

Võrrandi lahendamiseks arvutame A väärtuse², mis tehakse maatriksi A korrutades iseendaga, see tähendab:

See toiming korrutatakse esimese maatriksi read teise maatriksi veergudega, nagu allpool näidatud:

Sel viisil maatriks A² see on sama mis:

Arvestades just leitud väärtust ja pidades meeles, et identsusmaatriksis on põhidiagonaali elemendid võrdsed 1 ja ülejäänud elemendid võrdsed 0-ga, on võrrand järgmine:

Nüüd peame maatriksi A korrutama arvuga a ja identiteedimaatriksi numbriga b.

Pidage meeles, et arvu korrutamiseks massiiviga korrutame arvu massiivi iga elemendiga.

Seega on meie võrdsus võrdne järgmisega:

Kahe maatriksi liitmisel on meil:

Kaks maatriksit on võrdsed, kui kõik vastavad elemendid on võrdsed. Sel viisil saame kirjutada järgmise süsteemi:

A eraldamine teises võrrandis:

Asendades esimeses võrrandis leitud väärtuse a leiame b väärtuse:

2 + b = 1
b = 1-2
b = -1

Seega annab toote:

The. b = - 1. 2
The. b = - 2

Alternatiiv: a) −2.

2) Unesp - 2016

Ristkülikukujulise tasapinna koordinaatide (x, y) punkti P tähistab veergude maatriks. , samuti veeru maatriks tähistab ristkülikukujulises tasapinnas koordinaatide (x, y) punkti P. Seega maatriksi korrutamise tulemus on veerumaatriks, mis ristkülikukujulises tasapinnas tähistab tingimata punkti, mis on

a) P pööramine 180º päripäeva ja keskpunkt (0, 0).
b) P pööramine 90 ° vastupäeva, keskpunktiga (0, 0).
c) P sümmeetriline horisontaaltelje suhtes.
d) P sümmeetriline vertikaalse y-telje suhtes.
e) P pöörlemine 90 ° päripäeva ja keskpunkt (0, 0).

Vt vastus

Punkti P tähistab maatriks, nii et abstsissi (x) tähistab element a.₁₁ ja ordinaat (y) elemendi a järgi₂₁ maatriksi.

Punkti P uue positsiooni leidmiseks peame lahendama esitatud maatriksite korrutise ja tulemuseks on:

Tulemus tähistab punkti P uut koordinaati, see tähendab, et abstsiss on võrdne -y ja ordinaat on võrdne x-ga.

Punkti P asukoha kaudu toimunud transformatsiooni tuvastamiseks esindame olukorda Dekartesi tasapinnal, nagu allpool näidatud:

Seetõttu liikus punkt P, mis algul asus 1. kvadrandis (positiivsed abstsissid ja ordinaadid) 2. kvadrandisse (negatiivsed abstsissid ja positiivsed ordinaadid).

Sellesse uude asukohta liikudes pöörati punkti vastupäeva, nagu kujutatud ülaltoodud pildil punase noolega.

Peame ikkagi tuvastama, mis oli pöördenurga väärtus.

Ühendades punkti P algpositsiooni ristküliku telje keskpunktiga ja tehes sama uue punkti P 'suhtes, on meil järgmine olukord:

Pange tähele, et joonisel näidatud kaks kolmnurka on omavahel kooskõlas, see tähendab, et nende mõõtmed on samad. Nii on ka nende nurgad ühesugused.

Lisaks sellele on nurgad α ja complement üksteist täiendavad, kuna kolmnurkade sisenurkade summa on võrdne 180º ja kuna kolmnurk on täisnurkne, võrdub nende kahe nurga summa 90º-ga.

Seetõttu võib joonisel β näidatud punkti pöördenurk olla võrdne ainult 90º-ga.

Alternatiiv: b) P pööramine 90 ° vastupäeva, keskpunktiga (0, 0).

3) Unicamp - 2017

Kuna a on reaalarv, arvestage maatriksit A ​​= . Seega²⁰¹⁷ see on sama mis
)
B)
ç)
d)

Vt vastus

Kõigepealt proovime leida jõudude mustri, kuna maatriksi A korrutamine iseenesest 2017 korda on palju tööd.

Pidades meeles, et maatriksi korrutamisel leitakse iga element, liites ühe rea rea ​​elementide korrutamise tulemused teise veeru elementidega.

Alustame A arvutamisest²:

Tulemuseks oli identsusmaatriks ja kui korrutame mis tahes maatriksi identsusmaatriksiga, on tulemuseks maatriks ise.

Seetõttu on A väärtus³ võrdub maatriksiga A ise, sest A³ = A². THE.

Seda tulemust korratakse, see tähendab, et kui eksponent on paaris, on tulemus identiteedimaatriks ja kui see on paaritu, siis maatriks A ise.

Kuna 2017 on paaritu, siis on tulemus võrdne maatriksiga A

Alternatiiv: b)

4) UFSM - 2011

Antud diagramm tähistab antud ökosüsteemi lihtsustatud toiduahelat. Nooled näitavad liiki, millest teised liigid toituvad. Kui omistatakse väärtus 1, kui üks liik toitub teisest, ja null, kui toimub vastupidine, on meil järgmine tabel:

Maatriks A = (a_ij)_4x4, mis on seotud tabeliga, on järgmine koolitusseadus:

Vt vastus

Kuna rea ​​numbrit tähistab i ja veeru numbrit j, ning tabelit vaadates märkame, et kui i on võrdne j või i on suurem kui j, on tulemus null.

1-ga hõivatud positsioonid on need, kus veeru number on rea numbrist suurem.

Alternatiiv: c)

5) Unesp - 2014

Vaatleme maatriksvõrrandit A + BX = X + 2C, mille tundmatu on maatriks X ja kõik maatriksid on ruudukujulised järjestusega n. Selle võrrandi ühtse lahenduse saamiseks on vajalik ja piisav tingimus:

a) B - I ≠ O, kus I on järku n identiteedi maatriks ja O on järjestuse n nullmaatriks.
b) B on pööratav.
c) B ≠ O, kus O on järku n nullmaatriks.
d) B - I on pööratav, kus I on järjekorra n identiteedimaatriks.
e) A ja C on pööratavad.

Vt vastus

Maatriksvõrrandi lahendamiseks peame eraldama X võrdusmärgi ühel küljel. Selleks lahutame maatriksi A esialgu mõlemalt poolt.

A - A + BX = X + 2C - A
BX = X + 2C - A

Nüüd lahutame X, ka mõlemalt poolt. Sel juhul on võrrand järgmine:

BX - X = X - X + 2C - A
BX - X = 2C - A
X (B - I) = 2C - A

Kuna ma olen identiteedimaatriks, siis korrutades maatriksi identiteediga, on tulemuseks maatriks ise.

Seega tuleb X eraldamiseks korrutada võrdusmärgi mõlemad pooled (B-I) pöördmaatriksiga, see tähendab:

X. (B - I). (B - I) ^{- 1} = (B - I) ^{- 1}. (2C - A)

Pidades meeles, et kui maatriks on inverteeritav, on maatriksi korrutis pöördvõrdel identne maatriks.
X = (B - I) ^{- 1}. (2C - A)

Seega on võrrandil lahendus, kui B - I on pööratav.

Alternatiiv: d) B - I on pööratav, kus I on järjekorra n identiteedimaatriks.

6) Vaenlane - 2012

Üliõpilane märkis tabelisse mõne oma õppeaine kahe kuu hinded. Ta märkis, et tabeli numbrilised kirjed moodustasid 4x4 maatriksi ja et ta sai nende erialade aastakeskmised arvutada maatriksite korrutise abil. Kõigil testidel oli sama kaal ja allpool on toodud tema saadud tabel

Nende keskmiste saamiseks korrutas ta tabelist saadud maatriksi

Vt vastus

Aritmeetilise keskmise arvutamiseks liidetakse kõik väärtused ja jagatakse väärtuste arvuga.

Seega peab õpilane lisama 4 bimestri hinded ja jagama tulemuse 4-ga või korrutades iga hinde 1/4-ga ja lisama kõik tulemused.

Maatriksite abil saame sama tulemuse saavutada maatriksite korrutamise abil.

Peame siiski meeles pidama, et kahte maatriksit on võimalik korrutada ainult siis, kui ühe veeru arv on võrdne teise rea ridade arvuga.

Kuna nootide maatriksil on 4 veergu, peab maatriksil, mida korrutame, olema 4 rida. Seega peame korrutama veergude maatriksiga:

Alternatiiv: ja

7) Fuvest - 2012

Mõelge maatriksile , mille kohta The on reaalarv. Teades, et A tunnistab pöördvõimalust A^-1 kelle esimene veerg on , A peadiagonaali elementide summa^-1 see on sama mis

a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
e) 9

Vt vastus

Maatriksi korrutamine selle pöördarvuga on võrdne identiteedimaatriksiga, nii et saame olukorda kujutada järgmise toiminguga:

Lahendades esimese maatriksi teise rea korrutamise teise maatriksi esimese veeruga, on meil järgmine võrrand:

(kuni 1). (2a - 1) + (a + 1). (- 1) = 0
2.² - a - 2a + 1 + (-a) + (-1) = 0
2.² - 4. = 0
2. (a - 2) = 0
a - 2 = 0
a = 2

Maatriksi a väärtuse asendamisel on meil:

Nüüd, kui maatriks on teada, arvutame selle determinandi:

Seega on põhidiagonaali summa võrdne 5-ga.

Alternatiiv: a) 5

Lisateabe saamiseks vaadake ka:

• Maatriksid
• Määravad tegurid
• Sarruse reegel
• Laplace'i teoreem
• Ülekantud maatriks