Kompleksarvud: määratlus, toimingud ja harjutused

Kompleksarvud on arvud, mis koosnevad reaalsest ja mõttelisest osast.

Need tähistavad kõigi järjestatud paaride hulka (x, y), mille elemendid kuuluvad reaalarvude hulka (R).

Kompleksarvude kogumit tähistab Ç ja määratletud toimingutega:

• Võrdsus: (a, b) = (c, d) ↔ a = c ja b = d
• Lisamine: (a, b) + (c, d) = (a + b + c + d)
• Korrutamine: (a, b). (c, d) = (ac - bd, ad + bc)

Kujuteldav üksus (i)

Tähistatud tähega i, kujuteldav ühik on järjestatud paar (0, 1). Varsti:

i. i = -1 ↔ i² = –1

Seega i on –1 ruutjuur.

Z algebraline vorm

Z algebralist vormi kasutatakse kompleksarvu esitamiseks järgmise valemi abil:

Z = x + yi

Kus:

• x on reaalarv, mida tähistab x = Re (Z) ja mida kutsutakse tegelik osa z-st.
• y on reaalarv, mida tähistab y = Im (Z) ja mida kutsutakse kujuteldav osa Z-st.

Kompleksarvude konjugaat

Kompleksarvu konjugaati tähistab z, määratletud z = a - bi. Seega vahetatakse selle kujuteldava osa märk.

Nii et kui z = a + bi, siis z = a - bi

Kui korrutada kompleksarv selle konjugaadiga, saab tulemuseks reaalarvu.

Kompleksarvude võrdsus

Olles kaks kompleksarvu Z₁ = (a, b) ja Z₂ = (c, d), nad on võrdsed, kui a = c ja b = d. Seda seetõttu, et neil on identsed reaalsed ja kujuteldavad osad. Seega:

a + bi = c + di Millal a = c ja b = d

Toimingud keeruliste numbritega

Kompleksarvude abil on võimalik teha liitmis-, lahutamis-, korrutamis- ja jagamistoiminguid. Tutvuge allpool toodud määratluste ja näidetega:

Lisamine

Z₁ + Z₂ = (a + c, b + d)

Algebralises vormis on meil:

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + i (b + d)

Näide:

(2 + 3i) + (–4 + 5i)
(2–4) + i (3 + 5)
–2 + 8i

Lahutamine

Z₁ - Z₂ = (a - c, b - d)

Algebralises vormis on meil:

(a + bi) - (c + di) = (a - c) + i (b - d)

Näide:

(4 - 5i) - (2 + i)
(4–2) + i (–5 –1)
2 - 6i

Korrutamine

(a, b). (c, d) = (ac - bd, ad + bc)

Algebralises vormis kasutame levitavat omadust:

(a + bi). (c + di) = ac + adi + bci + bdi² (i² = –1)
(a + bi). (c + di) = ac + adi + bci - bd
(a + bi). (c + di) = (ac - bd) + i (ad + bc)

Näide:

(4 + 3i). (2–5i)
8 - 20i + 6i - 15i²
8 - 14i + 15
23 - 14i

Jaotus

Z₁/ Z₂ = Z₃
Z₁ = Z₂. Z₃

Ülaltoodud võrdsuse korral, kui Z₃ = x + yi, meil on:

Z₁ = Z₂. Z₃

a + bi = (c + di). (x + yi)
a + bi = (cx - dy) + i (cy + dx)

Tundmatute süsteemide x ja y järgi on meil:

cx - dy = a
dx + cy = b

Varsti,

x = ac + bd / c² + d²
y = bc - ad / c² + d²

Näide:

2 - 5i / i
2 - 5i /. (- i) / (- i)
-2i + 5i²/–i²
5 - 2i

Tagasisidega sisseastumiseksami harjutused

1. (UF-TO) Kaaluge i kompleksarvude kujuteldav ühik. Väärtuse avaldis (i + 1)⁸ é:

a) 32i
b) 32
c) 16
d) 16i

Vt vastus

Alternatiiv c: 16

2. (UEL-PR) Kompleksarv z, mis kontrollib võrrandit iz - 2w (1 + i) = 0 (w tähistab z) konjugaati:

a) z = 1 + i
b) z = (1/3) - i
c) z = (1 - i) / 3
d) z = 1 + (i / 3)
e) z = 1 - i

Vt vastus

Alternatiiv e: z = 1 - i

3. (Vunesp-SP) Vaatleme kompleksarvu z = cos π / 6 + i sin π / 6. z väärtus³ + Z⁶ + Z¹² é:

seal
b) ½ + √3 / 2i
c) i - 2
d) i
e) 2i

Vt vastus

Alternatiiv d: i

Vaadake veel kommenteeritud lahendusega küsimusi aastal Harjutused keerulistel numbritel.

Videotunnid

Kompleksnumbrite tundmise laiendamiseks vaadake videot "Sissejuhatus kompleksarvudesse"

Sissejuhatus kompleksarvudesse

Kompleksarvude ajalugu

Kompleksarvude avastamine toimus 16. sajandil tänu matemaatik Girolamo Cardano (1501-1576) panusele.

Kuid matemaatik Carl Friedrich Gauss (1777–1855) vormistas need uuringud alles 18. sajandil.

See oli matemaatikas suur samm edasi, kuna negatiivsel arvul on ruutjuur, mida kuni kompleksarvude avastamiseni peeti võimatuks.

Lisateabe saamiseks vaadake ka

• Numbrilised komplektid
• Polünoomid
• irratsionaalsed arvud
• 1. astme võrrand
• Potentseerimine ja kiirgus