PA ja PG: kokkuvõte, valemid ja harjutused

THE aritmeetiline progressioon - PA on väärtuste jada, millel on pidev erinevus järjestikuste arvude vahel.

THE geomeetriline progressioon - PG esitab kahe järjestikuse mõiste jagamisel sama jagatisega arvud.

Kui aritmeetilises progressioonis saadakse tingimused, lisades eelkäijale ühise erinevuse, siis a geomeetrilised progressioonid leitakse, korrutades suhte jada viimase numbriga, saades nii termini järeltulija.

Allpool on esitatud kokkuvõte kahest progressioonitüübist.

Aritmeetiline progressioon (AP)

Aritmeetiline progressioon on järjestus, mis on moodustatud terminitest, mis erinevad üksteisest konstantse väärtuse järgi, mida nimetatakse suhtarvuks, mis arvutatakse järgmiselt:

Kus

r on BP põhjus;
The₂ on teine ​​ametiaeg;
The₁ on esimene termin.

Seetõttu saab aritmeetilise progressiooni tingimused kirjutada järgmiselt:

Pange tähele, et PA-s ei terminid üldtermini valem (_ei) jada on:

The_ei =₁ + (n - 1) r

Mõned konkreetsed juhtumid on järgmised: 3-tähtajalist AP tähistab (x - r, x, x + r) ja 5-tähtajalise AP komponente tähistab (x - 2r, x - r, x, x + r, x + 2r).

PA tüübid

Suhte väärtuse järgi klassifitseeritakse aritmeetilised progressioonid kolme tüüpi:

1. Pidev: kui suhe on võrdne nulliga ja BP tingimused on võrdsed.

Näide: PA = (2, 2, 2, 2, 2, ...), kus r = 0

2. Kasvav: kui suhe on suurem kui null ja teisest tulenev termin on suurem kui eelmine;

Näide: PA = (2, 4, 6, 8, 10, ...), kus r = 2

3. laskuv: kui suhe on väiksem kui null ja teisest tulenev termin on väiksem kui eelmine.

Näide: PA = (4, 2, 0, - 2, - 4, ...), kus r = - 2

Aritmeetilisi progresseerumisi saab endiselt liigitada piiratud, kui neil on kindel arv termineid, ja lõpmatu, see tähendab lõpmatute terminitega.

Maksetingimuste summa

Aritmeetilise progressiooni tingimuste summa arvutatakse järgmise valemi abil:

Kus ei on jadas olevate terminite arv, The₁ on esimene termin ja The_ei on n-s ametiaeg. Valem on kasulik küsimuste lahendamiseks, kus on antud esimene ja viimane termin.

Kui probleemil on esimene termin ja BP-põhjus, võite kasutada valemit:

Neid kahte valemit kasutatakse piiratud BP mõistete lisamiseks.

Keskmine maksetähtaeg

Paaritu arvuga BP keskmise või keskmiseni kindlakstegemiseks arvutame esimese ja viimase aritmeetilise keskmise (a₁ ja_ei):

Keskmine mõiste PA järjestikuse arvu vahel vastab eelkäija ja järeltulija aritmeetilisele keskmisele.

Lahendatud näide

Arvestades PA (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14) määrake suhe, keskmine tähtaeg ja terminite summa.

1. PA põhjus

2. keskmise tähtajaga

3. terminite summa

Lisateave aritmeetiline progressioon.

Geomeetriline progressioon (PG)

Geomeetriline progressioon moodustub siis, kui järjestusel on korduskoefitsient, mis tuleneb kahe järjestikuse termini jagamisest, mida nimetatakse ühiseks suhteks ja mis arvutatakse järgmiselt:

Kus

mida on PG põhjus;
The₂ on teine ​​ametiaeg;
The₁ on esimene termin.

Geomeetriline progressioon ei Termineid saab esitada järgmiselt:

Olemine The₁ esimesel ametiajal arvutatakse PG üldine tähtaeg The₁.q^(ei-1).

PG tüübid

Suhte (q) väärtuse järgi saame liigitada geomeetrilised progressioonid 4 tüüpi:

1. Kasvav: suhe on alati positiivne (q> 0) ja terminid kasvavad;

Näide: PG: (3, 9, 27, 81, ...), kus q = 3.

2. laskuv: suhe on alati positiivne (q> 0), nullist erinev (0) ja terminid vähenevad;

Näide: PG: (-3, -9, -27, -81, ...), kus q = 3

3. võnkuv: põhjus on negatiivne (q

Näide: PG: (3, -6, 12, -24, 48, -96,…), kus q = - 2

4. Pidev: suhe on alati võrdne 1 ja terminitel on sama väärtus.

Näide: PG: (3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, ...), kus q = 1

PG tingimuste summa

Geomeetrilise progresseerumise summa arvutatakse järgmise valemi abil:

Olemine The₁ esimene ametiaeg, mida levinud põhjus ja ei terminite arv.

Kui PG suhe on väiksem kui 1, kasutame terminite summa määramiseks järgmist valemit.

Neid valemeid kasutatakse piiratud PG jaoks. Kui taotletav summa on lõpmatu PG, on kasutatud valemit:

PG keskmine tähtaeg

Paaritu arvuga PG keskmise või kesktermini määramiseks arvutame geomeetrilise keskmise esimese ja viimase mõistega (a₁ ja_ei):

Lahendatud näide

Arvestades PG (1, 3, 9, 27 ja 81) määrake suhe, keskmine tähtaeg ja tingimuste summa.

1. PG põhjus

2. keskmise tähtajaga

3. terminite summa

Lisateave geomeetriline progressioon.

PA ja PG valemite kokkuvõte

aritmeetiline progressioon	Geomeetriline progressioon
Põhjus
üldtermin
keskmise tähtajaga
lõplik summa
lõpmatu summa

Lisateave arvude järjestused.

Harjutused PA ja PG kohta

küsimus 1

Mis on järjestuse 16. tähtaeg, mis algab numbriga 3 ja mille BP-suhe on võrdne 4-ga?

a) 36
b) 52
c) 44
d) 63

Vt vastus

Õige alternatiiv: d) 63.

Kuna PA suhe on konstantne, võime järjestuse teise termini leida, lisades suhte esimesele numbrile.

The₂ =₁ + r

The₂ = 3 + 4

The₂ = 7

Seetõttu võime öelda, et selle järjestuse moodustavad (3, 7, 11, 15, 19, 23,…)

16. termini saab arvutada üldtermini valemiga.

The_ei =₁ + (n - 1). r

The₁₆ = 3 + (16 – 1). 4

The₁₆ = 3 + 15.4

The₁₆ = 3 + 60

The₁₆ = 63

Seetõttu on küsimusele vastus 63.

2. küsimus

Kui suur on kuue tähtajaga AP suhe, mille järjestuse esimese kolme numbri summa võrdub 12 ja kahe viimase võrdub –34?

a) 7
b) - 6
c) - 5
d) 5

Vt vastus

Õige alternatiiv: b) - 6.

Aritmeetilise progressiooni tingimuste üldvalem on₁, (a₁ + r), (a₁ + 2r),..., {a₁ + (n-1) r}. Seetõttu saab esimese kolme termini summa kirjutada järgmiselt:

The₁ + (₁ + r) + (a₁ + 2r) = 12
3₁ + 3r = 12
3₁ = 12 - 3r
The₁ = (12 - 3r) / 3
The₁ = 4 - r

Ja kahe viimase termini summa on:

(₁ + 4r) + (a₁ + 5r) = - 34
2.₁ + 9r = - 34

Nüüd asendame₁ poolt 4 - r.

2 (4 - r) + 9r = - 34
8 - 2r + 9r = - 34
7r = - 34 - 8
7r = - 42
r = - 42/7
r = - 6

Seetõttu on PG suhe - 6.

3. küsimus

Kui PG kolmas liige on 28 ja neljas on 56, siis millised on selle geomeetrilise progressiooni esimesed 5 mõistet?

a) 6, 12, 28, 56, 104
b) 7, 18, 28, 56, 92
c) 5, 9, 28, 56, 119
d) 7, 14, 28, 56, 112

Vt vastus

Õige alternatiiv: d) 7, 14, 28, 56, 112

Esiteks peame arvutama selle PG suhte. Selleks kasutame valemit:

The₄ =₃. mida
56 = 28. mida
56/28 = q
q = 2

Nüüd arvutame esimesed 5 terminit. Alustame₁ kasutades üldmõiste valemit.

The_ei =₁. mida^(n-1)
The₃ =₁ . mida^(3-1)
28 =₁. 2²
The₁ = 28/ 4 = 7

Ülejäänud tingimusi saab arvutada, korrutades eelneva termini suhtega.

The₂ =₁.q
The₂ = 7. 2
The₂ = 14

The₅ =₄. mida
The₅ = 56. 2
The₅ = 112

Seetõttu on PG esimesed 5 tingimust:

1. ametiaeg: 7
2. ametiaeg: 14
3. ametiaeg: 28
4. ametiaeg: 56
5. ametiaeg: 112

Vaadake ka teisi harjutusi harjutamise jätkamiseks:

• Harjutused aritmeetilise progresseerumise kohta
• Harjutused geomeetrilise progressi kohta