O irratsionaalsete arvude komplekt on moodustatud arvudest, mis ei saa esindada kui murrud. Mõnes olukorras ei olnud ratsionaalsete arvude komplekt probleemide lahendamiseks piisav, siis märgati irratsionaalsete arvude olemasolu, näiteks ebatäpsed juured, mitterioodilised kümnised,π, teiste vahel.
Loe ka: Mis on numbri väärtus?
Iratsionaalsete arvude komplekt
Kogu ajaloo vältel Pythagorase teoreem külgede täisnurkses kolmnurgas, mille mõõtmed on 1, leiti, et vastus võrdub arvu 2 juurega.
Tuleb välja, et see pealtnäha lihtne vastus võimaldas leida uue numbriline komplekt. Püüdes sellele vastust leida allikas ruut 2-st, leidis ühe kümnendarv tuntud kui mitteperioodiline kümnis, mis on murdosana on võimatu esitada. See tingis vajaduse luua uus hulk irratsionaalseid, kuna selle hetkeni olid kõik arvud ratsionaalsed (mida saab kirjutada murdosana).
Irratsionaalsete arvude hulk koosneb kõikidest arvudest, mis ei saab kirjutada murdarvuna. |
Mis on irratsionaalsed arvud?
Selleks, et arvu saaks pidada irratsionaalseks, peab see järgima määratlust, see tähendab, et seda ei saa esitada murdosana. Need numbrid on
ebatäpsed juured, kell mitteperioodilised kümnised ja mõned erijuhud, näiteks konstant π (loe: pi) või arv ɸ (loe: fi), muu hulgas.Juured pole täpsed
Kui arv ei ole täiuslik ruut, on see tuntud kui täpne juur. Vaadake mõnda näidet:
mitteperioodilised kümnised
Nende juurte lahendamisel on vastuseks alati ligikaudne arv, mida me nimetame mitteperioodilisteks kümnisteks.
Pange tähele, et kümnendkoht on lõpmatu ja et pole perioodi, see tähendab jada, mis põhjustab saame ennustada järgmise arvu kümnendkohas ja seetõttu nimetame seda numbrit kümnendkohaks mitte perioodiline. Mitte ainult ebatäpsete juurte genereeritud kümnendkohad, vaid ükskõik milline mitteperioodiline kümnendkoht on irratsionaalne arv.
muud irratsionaalsed arvud
• Arv π: on üsna tavaline arvutuste jaoks, mis hõlmavad kõveraid nagu pindala ja pikkus ümbermõõt või balloonide maht ja käbidja on üks tuntumaid irratsionaalarvusid. Kuna see on irratsionaalne, kasutame selle tähistamiseks sümbolit, π on siiski mitte-perioodiline kümnendkoht, see on sinu väärtus on võrdne väärtusega 3,14159265358979323846... Sellest arvust on teada mitu kohta, kuid tavaliselt kasutame ligikaudset väärtust 3,14.
• arv ɸ: on tuntud ka kui kuldne number ja seda on uuritud antiikajast alates, kirjeldades erinevaid loodusnähtusi, näiteks küülikupopulatsioonide paljunemist. Samuti on aruanne selle proportsiooni kasutamise kohta kunstiteostes. See on ka irratsionaalne arv ja seega tähistab seda sümbol ɸ, mille väärtus on: 1.61803398875…
• Euleri konstant: kasutatakse nähtustega, mis hõlmavad finantsmatemaatikaning muu hulgas ka bioloogia, astronoomia valdkonnas. See on ka irratsionaalne arv ja seetõttu on seda tähistatud sümboliga ja, väärtusega: 2,718281828459045235360…
Vaadake ka: Peaarvud - loomulik arv, millel on ainult kaks eraldajat
ratsionaalne ja irratsionaalne arv
Selgub, et suvalise arvu võib liigitada ratsionaalseks või irratsionaalseks. Otse, O ratsionaalarv on iga arv, mille saab kirjutada murdosana. Täpsed kümnendkohad, perioodilised kümnendkohad, täisarvud on ratsionaalsed arvud. Irratsionaalsed arvud on seevastu vastupidised, see tähendab, et need on need, mida ei saa kirjutada murdosana, nagu me mainisime, need on mitteperioodilised kümnendkohad ja mitte-täpsed juured.
- Näide
Kümnis 3.12121212... on perioodiline, pange tähele, et selle kümnendkohas on punkt, mis on arv 12, mida alati korratakse, seega see arv on ratsionaalne.
6,1249375 kümnis... on mitteperioodiline, pange tähele, et selle kümnendkohas pole ühtegi perioodi, mis selle numbri teeb irratsionaalne.
lahendatud harjutused
Küsimus 1 - Milliseid järgmistest numbritest võib liigitada irratsionaalseteks?
Resolutsioon
Alternatiiv C.
a) Me teame, et 25 on täiuslik ruut, see tähendab, et tema ruutjuur on täpselt võrdne 5-ga, seega on see ratsionaalne arv.
b) 81 juure arvutamisel teame, et selle tulemus on 9, mis muudab selle arvu ratsionaalseks.
c) 10-l pole täpset ruutjuurt, see on irratsionaalne arv, mis muudab alternatiivi C õigeks.
d) 5.1888 on täpne kümnendarv, seega on see ratsionaalne.
e) 1,2323… on kümnendik, mille periood on võrdne 23-ga, seega on see ratsionaalne arv.
2. küsimus - Mõistke irratsionaalsete arvude kohta järgmisi väiteid õigeks või valeks:
I - iga ruutjuur on irratsionaalne arv.
II - Iga mitteperioodiline kümnendkoht on irratsionaalne arv.
III - arv ɸ ja arv π on irratsionaalsete arvude näited.
Karistuste kohtuotsuse kohaselt on õige öelda, et:
a) Ainult väide I vastab tõele.
b) Tõene on ainult väide II.
c) Tõesed on ainult väited II ja III.
d) Tõesed on ainult väited I ja II.
e) Kõik väited vastavad tõele.
Resolutsioon
Alternatiiv C.
Mina - Vale, kuna ainult ebatäpne ruutjuur on irratsionaalne arv.
II - Tõsi. Mitteperioodilised kümnendkohad on irratsionaalsed arvud.
III - tõsi, kuna arvud ɸ ja π on mitterioodilised kümnendkohad, on nad seega irratsionaalsed arvud.
