Poolkaare trigonomeetrilised funktsioonid

Kell trigonomeetrilised funktsioonid, kaare pooluse siinuse, koosinuse ja puutuja saab kahekordse kaare trigonomeetriliste funktsioonide põhjal.

Antud mõõtekaar $\ dpi {120} \ alfa$ , kahekordne vibu on vibu $\ dpi {120} 2 \ alfa$ ja pool vibu on vibu $\ dpi {120} \ alfa / 2$ .

Kõrval kaks kaareliitvalemit, on meil kahekordse kaare trigonomeetrilised funktsioonid:

Siinus:

$\ dpi {120} \ mathrm {sen (2 {\ alpha}) = sen ({\ alpha + \ alpha}) = patt \, {\ alpha} \ cdot cos \, {\ alpha} + sin \, {\ alfa} \ cdot cos \, {\ alpha}}$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ mathbf {sen (2 \ boldsymbol {\ alpha}) = 2. (sen \, \ boldsymbol {\ alpha} \ cdot cos \, \ boldsymbol {\ alpha})}$

koosinus:

$\ dpi {120} \ mathrm {cos (2 {\ alpha}) = cos ({\ alpha + \ alpha}) = cos \, {\ alpha} \ cdot cos \, {\ alpha} - patt \ { alfa} \ cdot sin \, {\ alpha}}$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ mathbf {cos (2 \ boldsymbol {\ alpha}) = cos ^ 2 \, \ boldsymbol {\ alpha} - sen ^ 2 \, \ boldsymbol {\ alpha}}$

Tangent:

$\ dpi {120} \ mathrm {tan (2 {\ alpha}) = tan ({\ alpha + \ alpha}) = \ frac {tan \, {\ alpha} + tan \, {\ alpha}} {1 - tan \, {\ alpha} \ cdot tan \, {\ alpha}}}$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ mathbf {tan (2 \ boldsymbol {\ alpha}) = \ frac {2 \ cdot tan \, \ boldsymbol {\ alpha}} {1 - tan ^ 2 \, boldsymbol {\ alpha }}}$

Nendest valemitest näitame valemeid poolkaare trigonomeetrilised funktsioonid.

Poolkaare trigonomeetrilised funktsioonid

Üks neist trigonomeetria põhisuhted on see:

$\ dpi {120} \ mathbf {sen ^ 2 \ boldsymbol {\ alpha} + cos ^ 2 \ boldsymbol {\ alpha} = 1}$

Kust me saame:

$\ dpi {120} \ mathrm {sen ^ 2 \ alpha = 1 - cos ^ 2 \ alpha}$

$\ dpi {120} \ mathrm {cos ^ 2 \ alpha = 1-sen ^ 2 \ alpha}$

asendades $\ dpi {120} \ mathrm {sen ^ 2 \ alpha = 1 - cos ^ 2 \ alpha}$ kahekordse kaare koosinuse valemis peame:

$\ dpi {120} \ mathrm {cos (2 {\ alpha}) = cos ^ 2 \, {\ alpha} - sin ^ 2 \, {\ alpha} = cos ^ 2 \, {\ alfa} - (1 - cos ^ 2 \, {\ alfa})}$

Vaadake mõnda tasuta kursust

Tasuta online kaasava hariduse kursus
Tasuta online mänguasjaraamatukogu ja õppekursus
Alushariduse tasuta matemaatikamängude kursus
Tasuta veebipõhine pedagoogiliste kultuuritöökodade kursus

$\ dpi {120} \ mathrm {= 2cos ^ 2 \, {\ alpha} - 1}$

Seetõttu: $\ dpi {120} \ mathrm {cos (2 \ alfa) = 2cos ^ 2 \, {\ alfa} - 1}$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ mathrm {cos ^ 2 \, {\ alpha} = \ frac {1 + cos (2 \ alfa)} {2}}$

asendades $\ dpi {120} \ alfa$ per $\ dpi {120} \ alfa / 2$ ülaltoodud valemis ja ruutjuure mõlemalt küljelt ekstraheerides on meil valem kaarepoolne koosinus:

$\ dpi {120} \ mathbf {cos \, {(\ boldsymbol {\ alpha} / 2)} = \ pm \ sqrt {\ frac {1 + cos \, \ boldsymbol {\ alpha}} {2}}}$

Märkus. Valemis olev märk on vastavalt kaare poole kvadrandile positiivne või negatiivne.

Nüüd asendades $\ dpi {120} \ mathrm {cos ^ 2 \ alpha = 1-sen ^ 2 \ alpha}$ kahekordse kaare koosinuse valemis peame:

instagram story viewer

$\ dpi {120} \ mathrm {cos (2 {\ alpha}) = cos ^ 2 \, {\ alpha} - sin ^ 2 \, {\ alpha} = (1 -sen ^ 2 \, {\ alfa}) - sen ^ 2 \, {\ alpha}}$

$\ dpi {120} \ mathrm {= 1-2sen ^ 2 \, {\ alpha}}$

Seetõttu:

$\ dpi {120} \ mathrm {cos (2 \ alfa) = 1-2sen ^ 2 \, {\ alpha}}$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ mathrm {sen ^ 2 \, {\ alpha} = \ frac {1-cos (2 \ alfa)} {2}}$

asendades $\ dpi {120} \ alfa$ per $\ dpi {120} \ alfa / 2$ ülaltoodud valemis ja ruutjuure mõlemalt küljelt ekstraheerides on meil valem kaarepoolne siinus:

$\ dpi {120} \ mathbf {sen \, {(\ boldsymbol {\ alpha} / 2)} = \ pm \ sqrt {\ frac {1-cos \, \ boldsymbol {\ alpha}} {2}}}$

Märkus. Valemis olev märk on vastavalt kaare poole kvadrandile positiivne või negatiivne.

Lõpuks võime saada kaarepoole puutuja, jagades kaare poole siinuse kaare poole koosinusega:

$\ dpi {120} \ mathrm {tan (\ alpha / 2) = \ frac {sen (\ alpha / 2)} {cos (\ alpha / 2)} = \ frac {\ sqrt {\ frac {1 - cos \, \ alpha} {2}}} {\ sqrt {\ frac {1 + cos \, \ alpha} {2}}} = \ sqrt {\ frac {1 - cos \, \ alpha} {1 + cos \, \ alpha}}}$

Seetõttu on valem poolkaare puutuja é:

$\ dpi {120} \ mathbf {tan (\ boldsymbol {\ alpha} / 2) = \ pm \ sqrt {\ frac {1 - cos \, \ boldsymbol {\ alpha}} {1 + cos \, \ boldsymbol {\ alfa}}}}$

Märkus. Valemis olev märk on vastavalt kaare poole kvadrandile positiivne või negatiivne.

Samuti võite olla huvitatud:

trigonomeetriline ring
trigonomeetriline tabel
Trigonomeetrilised suhted
pattude seadus
koosinus seadus

Parool on saadetud teie e-posti aadressile.

Poolkaare trigonomeetrilised funktsioonid

Poolkaare trigonomeetrilised funktsioonid

Tervised tähega C

Tervised O-tähega

Kiitus tähega G