THE moodulvõrrand on a võrrand et esimeses või teises liikmes on moodulis terminid. Moodul, mida nimetatakse ka absoluutväärtuseks, on seotud vahemaa arvuga nullini. Kuna me räägime kaugusest, on arvu moodul alati positiivne. Moodulvõrrandite ülesannete lahendamine nõuab mooduli definitsiooni rakendamist, tavaliselt jagame võrrandi kaks võimalikku juhtumit:
kui mooduli sees on positiivne ja
kui mooduli sees on negatiivne.
Loe ka: Mis vahe on funktsioonil ja võrrandil?
üks reaalarvude moodul
Modulaarsete võrrandülesannete lahendamiseks on vaja meeles pidada mooduli määratlust. Moodul on alati sama mis numbri kaugus peab olema null, ja tähistada arvu moodulit ei, kasutame sirget riba järgmiselt: |ei|. |. Arvutamiseksei|, jagunesime kaheks juhtumiks:
Seetõttu võime öelda, et |ei| see on sama ei kui see on positiivne arv või võrdne nulliga, ja teisel juhul |ei| on võrdne vastandiga ei kui see on negatiivne. Pidage meeles, et negatiivse arvu vastand on alati positiivne, nii et |ei| on alati positiivse arvuga võrdne tulemus.
Ärge lõpetage kohe... Peale reklaami on veel;)
Näited:
a) | 2 | = 2
b) | -1 | = - (- 1) = 1
Vaadake ka: Kuidas lahendada logaritmilist võrrandit?
Kuidas lahendada moodulvõrrand?
Moodulvõrrandi lahendi leidmiseks on vaja analüüsida kõiki võimalusi, see tähendab jagada alati alati kahel juhul iga moodul. Lisaks mooduli definitsiooni tundmisele saab moodulvõrrandite lahendamiseks on oluline teada, kuidas seda lahendada polünoomvõrrandid.
Näide 1:
| x - 3 | = 5
Selle võrrandi lahenduse leidmiseks on oluline meeles pidada, et | on kaks võimalikku tulemustei| = 5, see on nemad, ei = -5, kuna | -5 | = 5 ja ka ei = 5, sest | 5 | = 5. Nii et sama idee abil peame:
I → x - 3 = 5 või
II → x - 3 = -5
Ühe võrrandi eraldi lahendamine:
I resolutsioon:
x - 3 = 5
x = 5 + 3
x = 8
II resolutsioon:
x - 3 = -5
x = -5 + 3
x = -2
Seega on kaks lahendit: S = {-2, 8}.
Pange tähele, et kui x = 8, on võrrand tõene, kuna:
| x - 3 | = 5
|8 – 3| = 5
|5| = 5
Pange tähele ka seda, et kui x = -2, on ka võrrand õige:
|-2 – 3| = 5
|-5| = 5
Näide 2:
| 2x + 3 | = 5
Nagu näites 1, tuleb lahenduse leidmiseks jagada see kaheks juhuks vastavalt mooduli määratlusele.
I → 2x + 3 = 5
II → 2x + 3 = -5
I resolutsioon:
2x + 3 = 5
2x = 5 - 3
2x = 2
x = 2/2
x = 1
II resolutsioon:
2x + 3 = -5
2x = -5-3
2x = -8
x = -8/2
x = -4
Siis seatud lahendite väärtus on: S = {1, -4}.
Näide 3:
| x + 3 | = | 2x - 1 |
Kui meil on kaks moodulit võrdselt, peame selle jagama kaheks juhuks:
1. juhtum, sama märgi esimene ja teine liige.
2. juhtum, esimene ja teine vastupidiste märkide liige.
I resolutsioon:
Teeme need kaks külge suuremaks kui null, see tähendab, et lihtsalt eemaldame mooduli. Saame hakkama ka mõlema negatiiviga, kuid tulemus on sama.
X + 3 ≥ 0 → | x + 3 | = x + 3
2x - 1 ≥ 0 → | 2x - 1 | = 2x - 1
x + 3 = 2x - 1
x - 2x = -1 - 3
x = -4 (-1)
x = 4
II resolutsioon:
Vastupidiste märkide küljed. Valime ühe poole positiivseks ja teise negatiivseks.
Valimine:
| x + 3 | ≥ 0 → | x + 3 | = x + 3
| 2x - 1 | <0 → | 2x –1 | = - (2x - 1)
Niisiis, peame:
x + 3 = - (2x - 1)
x + 3 = - 2x + 1
x + 2x = - 3 + 1
3x = -2
x = -2/3
Niisiis, lahendite komplekt on: S = {4, -2/3}.
Juurdepääs ka: Mis on irratsionaalsed võrrandid?
lahendatud harjutused
Küsimus 1 - (UFJF) Moodulivõrrandi negatiivsete lahendite arv | 5x - 6 | = x² on:
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
Resolutsioon
Alternatiiv E
Tahame lahendada moodulvõrrandi:
| 5x - 6 | = x²
Jaotame selle kaheks juhuks:
I resolutsioon:
5x - 6> 0 → | 5x - 6 | = 5x - 6
Niisiis, peame:
5x - 6 = x2
-x² + 5x - 6 = 0
Pidage meeles, et delta väärtus näitab meile, kui palju lahendeid on ruutvõrrandil:
a = -1
b = 5
c = -6
Δ = b² - 4ac
Δ = 5² – 4 · (-1) · (-6)
Δ = 25 – 24
Δ = 1
Kuna 1 on positiivne, siis on antud juhul kaks reaalset lahendust.
II resolutsioon:
| 5x - 6 | <0 → | 5x - 6 | = - (5x - 6)
- (5x - 6) = x2
- 5x + 6 = x2
- x² - 5x + 6 = 0
Δ = b² - 4ac
Δ = (-5)² – 4 · (-1) · (+6)
Δ = 25 + 24
Δ = 49
Kuna ka sel juhul on Δ positiivne, siis on kaks tegelikku lahendit, seega on tegelike lahendite koguarv 4.
2. küsimus - (PUC SP) Võrrandi | 2x - 1 | lahuskomplekt S = x - 1 on:
A) S = {0, 2/3}
B) S = {0, 1/3}
C) S = Ø
D) S = {0, -1}
E) S = {0, 4/3}
Resolutsioon
Alternatiiv A
I resolutsioon:
| 2x - 1 | = 2x - 1
Niisiis, peame:
2x - 1 = x - 1
2x - x = - 1 + 1
x = 0
II resolutsioon:
| 2x - 1 | = - (2x - 1)
- (2x - 1) = x - 1
-2x + 1 = x - 1
-2x - x = -1 - 1
-3x = -2 (-1)
3x = 2
x = 2/3
