Üks polünoomvõrrand iseloomustab a polünoom võrdub nulliga. Seda saab iseloomustada polünoomi astmega ja mida suurem on see aste, seda suurem on selle lahenduse või juure leidmise raskusaste.
Samuti on selles kontekstis oluline mõista, mis on algebra põhiteoreem, mis seda väidab igal polünoomvõrrandil on vähemalt üks keeruline lahendus, teisisõnu: esimese astme võrrandil on vähemalt üks lahendus, teise astme võrrandil on vähemalt kaks lahendit jne.
Loe ka: Millised on polünoomide klassid?
Mis on polünoomvõrrand
Polünoomvõrrandit iseloomustab see, et polünoom on võrdne nulliga, seega iga P (x) = 0 tüüpi avaldis on polünoomvõrrand, kus P (x) on polünoom. Vt allpool polünoomvõrrandi üldjuhtumit ja mõningaid näiteid.
Mõelgeei, an-1, a n -2,…, The1, a0 ja x reaalarvudja n on positiivne täisarv, järgmine avaldis on n-astmeline polünoomvõrrand.
- Näide
Järgmised võrrandid on polünoomid.
a) 3x4 + 4x2 – 1 = 0
b) 5x2 – 3 = 0
c) 6x - 1 = 0
d) 7x3 - x2 + 4x + 3 = 0
Nagu polünoomidel, on ka polünoomide võrranditel oma aste. Polünoomvõrrandi astme määramiseks leidke lihtsalt suurim võimsus, mille koefitsient erineb nullist. Seetõttu on eelmiste punktide võrrandid vastavalt:
a) võrrand on pärit neljas aste:3x4+ 4x2 – 1 = 0.
b) võrrand on pärit Keskkool:5x2 – 3 = 0.
c) võrrand on pärit esimene kraad:6x – 1 = 0.
d) võrrand on pärit kolmas aste: 7x3- x2 + 4x + 3 = 0.
Ärge lõpetage kohe... Peale reklaami on veel;)
Kuidas lahendada polünoomvõrrand?
Polünoomvõrrandi lahendamise meetod sõltub selle astmest. Mida suurem on võrrandi aste, seda keerulisem on seda lahendada. Selles artiklis näitame lahendi meetodit polünoomvõrrandite jaoks esimene aste, teine aste ja bisquare.
Esimese astme polünoomvõrrand
Esimese astme polünoomvõrrandit kirjeldab a kraadi 1 polünoom. Nii võime esimese astme võrrandi kirjutada üldiselt järgmiselt.
Vaatleme kahte reaalarvu The ja B a 0 korral on järgmine avaldis esimese astme polünoomvõrrand:
kirves + b = 0
Selle võrrandi lahendamiseks peame kasutama samaväärsuse põhimõteehk kõik, mida juhitakse võrdsuse ühel poolel, peab toimima ka teisel pool. Esimese astme võrrandi lahendi määramiseks peame isoleerida tundmatu. Selle jaoks on esimene samm kõrvaldada B vasakul pool võrdsust ja siis lahutamaaerud b mõlemal pool võrdsust.
kirves + b - B = 0 - B
kirves = - b
Pange tähele, et tundmatu x väärtus ei ole eraldatud, koefitsient a tuleb võrdsuse vasakult küljelt kõrvaldada ja jagame selleks mõlemad pooled The.
- Näide
Lahendage võrrand 5x + 25 = 0.
Probleemi lahendamiseks peame kasutama samaväärsuse põhimõtet. Protsessi hõlbustamiseks jätame välja operatsiooni kirjutamise võrdsuse, oleku vasakul küljel samaväärne, et öelda, et me anname numbri teisele küljele, muutes märki (pöördoperatsioon).
Lisateavet seda tüüpi võrrandi lahendamise kohta leiate meie tekstist: Esimese astme võrrand tundmatuga.
Teise astme polünoomvõrrand
Teise astme polünoomvõrrandil on tunnuseks a kraadi kaks polünoomi. Mõelgem siis a, b ja c reaalarvudele ≠ 0. Teise astme võrrandi annab:
kirves2 + bx + c = 0
Teie lahenduse saab määrata meetodi abil bhaskara või faktooringuga. Kui soovite seda tüüpi võrrandite kohta rohkem teada saada, lugege järgmist: Eqtegevus steine grau.
→ Bhaskara meetod
Bhaskara meetodit kasutades on selle juured antud järgmise valemi abil:
- Näide
Määrake võrrandi x lahendus2 - 3x + 2 = 0.
Pange tähele, et võrrandi koefitsiendid on vastavalt a = 1, b = - 3 ja c = 2. Nende väärtuste asendamine valemis peame:
→ Faktoorimine
Pange tähele, et avaldist x on võimalik faktorida2 - 3x + 2 = 0, kasutades ideed polünoomne faktoriseerimine.
x2 - 3x + 2 = 0
(x - 2) · (x - 1) = 0
Pange nüüd tähele, et meil on nulliga võrdne toode ja toode võrdub nulliga ainult siis, kui üks teguritest on võrdne nulliga, seega peame:
x - 2 = 0
x = 2
või
x - 1 = 0
x = 1
Vaadake, et leidsime võrrandi lahenduse kahe erineva meetodi abil.
kahe ruudu võrrand
THE bisquare võrrand see on neljanda astme polünoomvõrrandi konkreetne juhtum, tavaliselt kirjutatakse neljanda astme võrrand kujul:
kirves4 + bx3 + kast2 + dx + e = 0
kus numbrid a B C D ja ja on reaalsed arvuga ≠ 0. Neljanda astme võrrandit peetakse nelinurkseks, kui koefitsiendid b = d = 0, see tähendab, et võrrand on kujul:
kirves4 + kast2 + ja = 0
Vaadake allpool toodud näites, kuidas seda võrrandit lahendada.
- Näide
Lahendage x võrrand4 - 10x2 + 9 = 0.
Võrrandi lahendamiseks kasutame järgmist tundmatut muutust ja alati, kui võrrand on nelinurkne, teeme selle muutuse.
x2 = lk
Pange kahe ruudu võrrandist tähele, et x4 = (x2)2 ja seetõttu peame:
x4 - 10x2 + 9 = 0
(x2)2 – 10x2 + 9 = 0
P2 - 10p + 9 = 0
Vaadake, et meil on nüüd teise astme polünoomvõrrand ja saame kasutada Bhaskara meetodit järgmiselt:
Peame siiski meeles pidama, et harjutuse alguses tehti tundmatu muudatus, seega peame rakendama asenduses leitud väärtust.
x2 = lk
Kui p = 9, peame:
x2 = 9
x ’= 3
või
x ’’ = - 3
Kui p = 1
x2 = 1
x ’= 1
või
x ’’ = - 1
Seetõttu on bisquare võrrandi lahendhulk järgmine:
S = {3, –3, 1, –1}
Loe ka: Briot-Ruffini praktiline seade - polünoomide jagamine
Algebra põhiteoreem (TFA)
Algebra (TFA) põhiteoreem, mille tõestas Gauss 1799. aastal, ütleb, et igal järgneval polünoomvõrrandil on vähemalt üks keeruline juur.
Polünoomvõrrandi juur on selle lahendus, see tähendab, et tundmatus väärtus teeb võrdsuse tõeks. Näiteks esimese astme võrrandil on juba määratud juur, nagu ka teise astme võrrandil, millel on vähemalt kaks juurt, ja bisquareil, millel on vähemalt neli juurt.
lahendatud harjutused
küsimus 1 - Määrake x väärtus, mis muudab võrdsuse õigeks.
2x - 8 = 3x + 7
Resolutsioon
Pange tähele, et võrrandi lahendamiseks on vaja see korraldada, see tähendab jätta kõik tundmatud võrdsuse vasakule küljele.
2x - 8 = 3x + 7
2x - 3x = 7 + 8
- x = 15
Ekvivalentsuspõhimõtte järgi võime korrutada võrdsuse mõlemad pooled sama arvuga ja kuna soovime teada saada x väärtuse, korrutame mõlemad pooled –1-ga.
(–1)- x = 15(–1)
x = - 15
2. küsimus - Marcosel on 20 dollarit rohkem kui Joãol. Üheskoos õnnestub neil osta kaks paari tossusid, mis maksavad mõlemale paarile R $ 80 ja ilma rahata. Mitu reaali on John?
Resolutsioon
Mõelge, et Markil on x reaal, kuna Johnil on veel 20 reaali, seega on tal x + 20.
Märgid → x reaalarvud
João → (x + 20) reaal
kuidas nad ostsid kaks paari tossusid mis maksavad igaüks 80 reaali, nii et kui paneme igaühe osad kokku, peame:
x + (x + 20) = 2 · 80
x + x = 160 - 20
2x = 140
Seetõttu oli Markil 70 ja Joãol 90 reaali.
autor Robson Luiz
Matemaatikaõpetaja
