THE aritmeetiline progressioon (AP) on numbriline järjestus mida me kasutame teatud nähtuste käitumise kirjeldamiseks matemaatikas. PA-s on kasv või lagunemine on alati pidev, see tähendab, et ühest terminist teise on erinevus alati sama ja seda erinevust nimetatakse põhjuseks.
Selle tulemusena progresseerumise prognoositav käitumine, saate seda kirjeldada valemi järgi, mis on tuntud kui üldtermin. Samal põhjusel on konkreetse valemi abil võimalik arvutada ka PA tingimuste summa.
Loe ka: Geomeetriline progressioon - kuidas arvutada?
Mis on PA?
Mõistes, et PA on terminijärjestus, milles Mõiste ja selle eelmise erinevus on alati konstantne, selle progressi kirjeldamiseks valemilt peame leidma algtermini või see tähendab progressiooni esimene tähtaeg ja selle põhjus, milleks on see pidev erinevus tingimustel.
Üldiselt on maksete assigneering kirjutatud järgmiselt:
(1, a2, The3, a4, The5, a6, The7, a8)
Esimene termin on a1 ja sellest edasi lisama põhjus r, otsime üles järeltulijad.
The1 + r = a2
The2 + r = a3
The3 + r = a4
...
Nii et aritmeetilise progressi kirjutamiseks peame teadma, kes on selle esimene termin ja miks.
Näide:
Kirjutame AP kuus esimest terminit, teades, et selle esimene termin on 4 ja suhe võrdub 2. teades1 = 4 ja r = 2, järeldame, et see progressioon algab 4-st ja suureneb 2-lt 2-le. Seetõttu võime kirjeldada selle termineid.
The1 = 4
The2 = 4+ 2 = 6
The3 = 6 + 2 = 8
The4 = 8 + 2 = 10
The5= 10 + 2 = 12
The6 = 12 + 2 =14
See BP on võrdne (4,6,8,10,12,14…).
Ärge lõpetage kohe... Peale reklaami on veel;)
Palestiina üldtähtaeg
PA kirjeldamine valemi järgi hõlbustab selle terminite leidmist. AP-terminite leidmiseks kasutame järgmist valemit:
Theei= a1 + r · (n-1) |
N → on termini positsioon;
The1→ on esimene termin;
r → põhjus.
Näide:
Leia see PA üldine tähtaeg (1,5,9,13,…) ja 5., 10. ja 23. ametiaeg.
1. samm: leia põhjus.
Suhte leidmiseks arvutage lihtsalt kahe järjestikuse termini vahe: 5 - 1 = 4; siis antud juhul r = 4.
2. samm: leida üldtermin.
Kuidas me teame, et1= 1 ja r = 4, asendame valemis.
Theei= a1 + r (n - 1)
Theei= 1 + 4 (n - 1)
Theei= 1 + 4n - 4
Theei= 4n - 3 → PA üldmõiste
3. samm: teades üldist terminit, arvutame välja 5., 10. ja 23. termini.
5. termin → n = 5
Theei= 4n - 3
The5=4·5 – 3
The5=20 – 3
The5=17
10. termin → n = 10
Theei= 4n - 3
The10=4·10 – 3
The10=40 – 3
The10=37
23. termin → n = 23
Theei= 4n - 3
The23=4·23 – 3
The23=92 – 3
The23=89
Aritmeetiliste progressioonide tüübid
PA jaoks on kolm võimalust. See võib olla suurenev, vähenev või konstantne.
Kasvav
Nagu nimest võib järeldada, suureneb aritmeetiline progressioon, kui terminite kasvades suureneb ka nende väärtus., see tähendab, et teine termin on suurem kui esimene, kolmas on suurem kui teine jne.
The1
Selleks peab suhe olema positiivne, see tähendab, et PA suureneb, kui r> 0.
Näited:
(2,3,4,5,6,7,8,9 …)
(0,5,10,15,20,25...)
laskuv
Nagu nimigi ütleb, on aritmeetiline progressioon languses, kui terminite kasvades nende väärtus väheneb, see tähendab, et teine termin on väiksem kui esimene, kolmas on väiksem kui teine jne.
The1 >2 >3 >4 > …. >ei
Selleks peab suhe olema negatiivne, see tähendab, et PA suureneb, kui r <0.
Näited:
(10,9,8,7,6,5,4,3,2, …)
(0, -5, -10, -15, -20, …)
Pidev
Aritmeetiline progressioon on konstantne, kui terminite kasvades jääb väärtus samaks., see tähendab, et esimene termin on võrdne teisega, mis on võrdne kolmanda ja nii edasi.
The1 =2 =3 =4 = …. = aei
Selleks, et PA oleks konstantne, peab suhe olema võrdne nulliga, see tähendab r = 0.
Näited:
(1,1,1,1,1,1,1….)
(-2, -2 -2, -2, …)
Vaadake ka: PG tingimuste korrutis - mis on valem?
PA omadused
1. vara
Arvestades PA mis tahes tähtaega, keskmine aritmeetika tema järeltulija ja eelkäija vahel on selle terminiga võrdne.
Näide:
Vaatleme progresseerumist (-1, 2, 5, 8, 11) ja mõistet 8. Keskmine vahemikus 11 kuni 5 on võrdne 8-ga, see tähendab, et PA-s oleva arvu eelkäijaga järeltulija summa on alati selle arvuga võrdne.
2. vara
Sama kaugel olevate terminite summa on alati võrdne.
Näide:
Maksetingimuste summa
Oletame, et soovime lisada kuus ülaltoodud BP-terminit: (16,13,10,7,4,1). Saame nende terminid lihtsalt lisada - sel juhul on termineid vähe, see on võimalik - aga kui on pikem string, peaksite kasutama atribuuti. Me teame, et võrdsete vahemaade summa on alati võrdne, nagu nägime omadusel, nii et kui me seda täidame lisage üks kord ja korrutage poole mõistete hulgast, siis on meil esimese kuue mõiste summa PAN.
Pange tähele, et näites arvutaksime esimese ja viimase summa, mis on võrdne 17, korrutatuna poolte terminite summaga, see tähendab 17 korda 3, mis võrdub 51-ga.
Valem maksetingimuste summa selle töötas välja matemaatik Gauss, kes mõistis seda sümmeetriat aritmeetilistes progressioonides. Valem on kirjutatud järgmiselt:
sei → n elemendi summa
The1 → esimene ametiaeg
Theei → viimane ametiaeg
n → terminite arv
Näide:
Arvutage paaritu arvude summa vahemikus 1 kuni 2000.
Resolutsioon:
Me teame, et see järjestus on PA (1,3,5,…. 1997, 1999). Summa sooritamine oleks palju tööd, nii et valem on üsna mugav. Aastatel 1–2000 on pooled arvud paaritud, seega on paarituid numbreid 1000.
Andmed:
n → 1000
The1 → 1
Theei → 1999
Juurdepääs ka: Lõpliku PG summa - kuidas seda teha?
Aritmeetiliste keskmiste interpoleerimine
Teades aritmeetilise progresseerumise kahte järjestikust tingimust, on võimalik leida kõik mõisted, mis jäävad nende kahe numbri vahele, mida me teame aritmeetiliste keskmiste interpoleerimine.
Näide:
Interpoleerime 5 aritmeetilist keskmist vahemikus 13 kuni 55. See tähendab, et vahemikus 13 kuni 55 on 5 numbrit ja need moodustavad progressiooni.
(13, ___, ___, ___, ___, ___, 55).
Nende numbrite leidmiseks on vaja leida põhjus. Me teame esimest terminit (1 = 13) ja ka 7. ametiaeg (7= 55), kuid me teame, et:
Theei =1 + r · (n - 1)
Kui n = 7 → aei= 55. Teame ka a väärtust1=13. Niisiis, asendades selle valemis, peame:
55 = 13 + r · (7 - 1)
55 = 13 + 6r
55 - 13 = 6r
42 = 6r
r = 42: 6
r = 7.
Põhjust teades võime leida termineid, mis jäävad vahemikku 13–55.
13 + 7 = 20
21 + 7 = 27
28 + 7 = 34
35 + 7 = 41
41 + 7 = 49
(13, 20, 27, 34, 41, 49, 55)
lahendatud harjutused
Küsimus 1 - (Enem 2012) - kaartide mängimine on arutluskäiku ergutav tegevus. Traditsiooniline mäng on Solitaire, mis kasutab 52 kaarti. Esialgu moodustatakse kaartidega seitse veergu. Esimeses veerus on üks kaart, teises on kaks kaarti, kolmandas on kolm kaarti, neljandas on neli kaarti jne järjest seitsmendasse veergu, kus on seitse kaarti, ja mis moodustab selle kuhja, milleks on kasutamata kaardid veerud.
Vaia moodustavate kaartide arv on:
A) 21.
B) 24.
C) 26.
D) 28.
E) 31.
Resolutsioon
Alternatiiv B.
Kõigepealt arvutame kasutatud kaartide koguarvu. Teeme koostööd AP-ga, mille esimene ametiaeg on 1 ja suhe on samuti 1. Niisiis, arvutades 7 rea summa, on viimane termin 7 ja n väärtus on samuti 7.
Teades, et kasutatud kaartide koguarv oli 28 ja et kaarte on 52, moodustab kuhi:
52 - 28 = 24 kaarti
2. küsimus - (Vaenlane 2018) Interjööris asuva väikelinna raekoda otsustab panna valgustuspostid ümber mööda sirget teed, mis algab keskväljakult ja lõpeb piirkonnas asuva taluga. maaelu. Kuna väljakul on juba valgustus, asetatakse esimene varras väljakust 80 meetri kaugusele, teine 100 meetri kaugusele, kolmas 120 meetri kaugusele jne. hoides postide vahel alati 20 meetrit, kuni viimane post asetatakse 1380 meetri kaugusele ruut.
Kui linn saab maksta ühe postituse eest maksimaalselt 8 000,00 R $, on suurim summa, mille saate nende postituste tegemiseks kulutada:
A) 512 000,00 BRL.
B) 520 000,00 BRL.
C) R $ 528 000,00.
D) 552 000,00 BRL.
E) 584 000,00 BRL.
Resolutsioon
Alternatiiv C.
Me teame, et postid asetatakse iga 20 meetri tagant, see tähendab, et r = 20, ja et selle PA esimene tähtaeg on 80. Samuti teame, et viimane termin on 1380, kuid me ei tea, kui palju termineid on vahemikus 80 kuni 1380. Selle terminite arvu arvutamiseks kasutame üldist terminivalemit.
Andmed: aei = 1380; The1=80; ja r = 20.
Theei= a1 + r · (n-1)
Asetatakse 660 postitust. Kui igaüks maksab maksimaalselt 8 000 R $, on suurim summa, mida nende postituste paigutamisega saab kulutada:
66· 8 000 = 528 000
Autor Raul Rodrigues de Oliveira
