Tú Numeros irracionales causó gran inquietud en los matemáticos durante un largo período. Hoy, ya bien definido, conocemos como número irracional aquel cuyo La representación decimal es siempre un decimal no periódico.. La principal característica de los irracionales, y lo que los diferencia de los números racionales, es que no puede ser representado por un fracción.
El estudio de los números irracionales se profundizó cuando, al calcular problemas relacionados con el teorema de Pitágoras, se encontraron raíces no exactas. El hecho de buscar una solución a estas raíces inexactas hizo notable la existencia de diezmos no exactos. periódica, es decir, de números cuya parte decimal es infinita y no tiene una buena secuencia. definido. Los principales números irracionales son decimales no periódicos, raíces no exactas y π.
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Conjunto de números irracionales
Antes del estudio de los números irracionales, se estudiaron conjuntos de números.
natural, enteros y racionales. Al profundizar en el estudio del triángulo rectángulo, quedó claro que hay algunas raíces que no tienen una solución exacta., en particular, fue posible ver que las soluciones raíz no exactas son números conocidos como diezmos no periódicos.En medio de este malestar, muchos matemáticos han intentado demostrar, sin éxito, que las raíces inexactas son números racionales y que se puede representar como una fracción, pero lo que se descubrió fue que estos números no se podían representar en este molde. Como, hasta ahora, el conjunto de números racionales no incluía estos números, surgió la necesidad de crear un nuevo conjunto, conocido como conjunto de números irracionales.
Un número es irracional cuando su representación decimal es un decimal no periódico. |
¿Qué son los números irracionales?
Para ser un número irracional, tiene que satisfacer la definición, es decir, el su representación decimal es un decimal no periódico. La principal característica de los decimales no periódicos es que no se pueden representar mediante una fracción, lo que demuestra que los números irracionales son lo opuesto a los números racionales.
Los principales números con esta función son los raíces no exactas.
Ejemplos de:
a) √2
b) √5
c) √7
d) √13
Al buscar soluciones de raíz no exactas, es decir, realizar la representación decimal de estos números, siempre encontraremos un decimal no periódico, que hace que estos números sean elementos del conjunto de irracional.
Además de las raíces no exactas, existen los decimales no periódicos, por ejemplo, si calculamos raíces no exactas, encontraremos un decimal no periódico.
√2 = 1,41421356...
√5= 2,23606797...
Los números irracionales se representan comúnmente con letras griegas., porque no es posible escribir todos sus lugares decimales.
El primero es el π (léase: pi), presente en el cálculo del área y perímetro de círculos. Tiene un valor igual a 3,1415926535…
Además de π, otro número muy común es ϕ (léase: fi). Se le encuentra en problemas relacionados con el Proporción dorado. Tiene un valor igual a 1,618033 ...
Vea también: ¿Qué son los números primos?
número racional e irracional
Al analizar los conjuntos de números, es importante diferenciar entre números racionales y números irracionales. La unión de estos dos conjuntos forma uno de los conjuntos más estudiados en matemáticas, el conjunto de reales, es decir, el conjunto de numeros reales es la unión de números que se pueden representar como fracciones (racionales) con números que no se pueden representar como fracciones (irracionales).
En el conjunto de numeros racionales, están los números enteros, los naturales, los decimales exactos y los decimales periódicos.
Ejemplos de números racionales:
-60 → entero
2.5 → decimal exacto
5.1111111… → decimal periódico
Los números irracionales son decimales no periódicos, por lo que no hay ningún número que sea racional e irracional al mismo tiempo.
Ejemplo de números irracionales:
1,123149… → diezmo no periódico
2.769235… → diezmo no periódico
Operaciones con números irracionales
Adición y sustracción
LA adición y el sustracción de dos números irracionales suele ser recién representado, a menos que se utilice una aproximación decimal de estos números, por ejemplo:
a) √6 + √5
b) √6 - √5
c) 1.414213… + 3.1415926535…
No podemos sumar ni restar los valores debido a los radicales, así que acabamos de dejar la operación indicada.
En representaciones decimales, tampoco es posible realizar la suma exacta, por lo que para sumar dos números irracionales, necesitamos una aproximación racional., y esta representación se elige de acuerdo con la necesidad de precisión de estos datos. Cuantos más lugares decimales consideremos, más cerca obtendremos de la suma exacta.
Observación:el conjunto de números irracionales no está cerrado a la suma o resta, esto significa que la suma de dos números irracionales puede resultar en un número que no es racional. Por ejemplo, si calculamos la diferencia de un número irracional por su opuesto, tenemos que:
a) √2 - √2 = 0
b) π + (-π) = 0
Sabemos que 0 no es un número irracional.
Multiplicación y división
La multiplicación y división de números irracionales se puede hacer si la representación es un Radiaciónsin embargo, al igual que la suma, en representación decimal, es decir, multiplicar o dividir dos decimales, se requiere una aproximación racional de este número.
a) √7 · √5 = √35
b) √32: √2 = √16 = 4
Tenga en cuenta también que, en el ejemplo b, 4 es un número racional, lo que significa que la multiplicación y división de dos números irracionales no son cerradas, es decir, pueden tener un resultado racional.
ejercicios resueltos
Pregunta 1 - Revise los siguientes números:
I) 3.1415926535
II) 4.1234510….
III) 2π
IV) 1,123123123 ...
V) √36
VI) √12
Estos son números irracionales:
A) Solo I, IV y V
B) Solo II, III y VI
C) Solo II, IV y VI
D) Solo I, II, III y VI
E) Solo III, IV, V y VI
Resolución
Alternativa B
I → el número es decimal exacto, racional.
II → el número es un decimal irracional no periódico.
III → π es irracional, y su doble, es decir, 2π, también es irracional.
IV → el número es un decimal periódico y racional.
V → raíz exacta, racional.
VI → raíz no exacta, irracional.
Pregunta 2 - Juzgue las siguientes afirmaciones:
I - El conjunto de los números reales es la unión de lo racional y lo irracional;
II - La suma de dos números irracionales puede ser un número racional;
III - Los diezmos son números irracionales.
Analizando los enunciados, podemos decir que:
A) Solo la declaración I es verdadera.
B) Solo el enunciado II es verdadero.
C) Solo el enunciado III es verdadero.
D) Solo las declaraciones I y II son verdaderas.
E) Todas las declaraciones son verdaderas.
Resolución
Alternativa D
I → Cierto, porque la definición del conjunto de números reales es la unión entre lo racional y lo irracional.
II → Es cierto, cuando sumamos un número a su opuesto, tendremos como resultado el número 0, que es racional.
III → Los diezmos falsos y no periódicos son irracionales.
Por Raul Rodrigues de Oliveira
Profesor de matemáticas
Fuente: Escuela Brasil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numeros-irracionais.htm
