O producto escalar entre dos vectores es un número real que relaciona la magnitud de estos vectores, es decir, su longitud y el ángulo entre ellos. Por tanto, para calcularlo es necesario conocer sus longitudes y el ángulo que forman.
Utilizando el plano como base, un vector indica una ubicación, una intensidad, una dirección y una dirección. Por tanto, se utiliza en los estudios de Mecánica (Física) como representante de una fuerza aplicada a un objeto.
La representación habitual del vector es una flecha que termina en un punto. Se dice que las coordenadas de este punto son las coordenadas del vector que comienza en el punto O (0,0). Escribimos v = (a, b) para representarlo. Por lo tanto, el vector v = (1,2) se dibuja de la siguiente manera:
Ejemplo de vector a partir del origen
Para calcular la longitud de este vector, considere el triángulo rectángulo formado por él y su proyección en el eje x (o eje y), como se muestra en la siguiente figura:
Longitud del vector v
La longitud de un vector v se llama
v norma de vector o módulo de vector v y está representado por | v |. Tenga en cuenta que la norma del vector v = (a, b) es precisamente la medida de la hipotenusa del triángulo representado en la figura anterior. Para calcular esta medida, usamos el Teorema de Pitágoras:| v |2 = el2 + b2
| v | = √ (a2 + b2 )
Producto escalar de dos vectores
Dados dos vectores u y v, el producto interno entre ellos está representado por y se define como:
= | u || v | · cosθ
Esta es una especie de multiplicación entre dos vectores, sin embargo, no se llama producto ya que no es una multiplicación común, ya que involucra el ángulo formado por estos dos vectores.
Ángulo entre dos vectores
El primer resultado que surge de la definición anterior es el ángulo entre dos vectores. Con los números reales “producto escalar”, “norma del vector u” y “norma del vector v”, es posible calcular el ángulo entre los vectores uy v. Para hacer esto, simplemente realice los cálculos:
= | u || v | · cosθ
= cosθ
| u || v |
Por tanto, dividiendo el producto interno por las normas de los vectores uyv, encontramos el número real referido al coseno entre estos dos vectores y, por tanto, el ángulo entre ellos.
Tenga en cuenta que si el ángulo entre dos vectores es recto, cosθ es igual a cero. Por lo tanto, el producto anterior tendrá el siguiente resultado:
= 0
De esto, se puede concluir que, dados dos vectores uyv, serán ortogonales si = 0.
Producto interior calculado a partir de coordenadas vectoriales.
Considerando los dos vectores u = (a, b) y v = (c, d), el producto escalar entre u y v viene dado por:
= = a · c + b · d
Propiedades internas del producto
Dados los vectores u, vyw y el número real α, observe:
I) =
Esto significa que el producto interno de los vectores es "conmutativo".
ii) = +
Esta propiedad es comparable a la distributividad de la multiplicación sobre la suma.
iii) = = α
Calcular el producto interno entre u y v multiplicado por el número real α es lo mismo que calcular el producto interno entre αv y u o entre v y αu.
iv)
El producto interno de v con v solo es cero si v es el vector nulo.
v)
El producto interno de v con v siempre será mayor o igual a cero.
Por Luiz Paulo Moreira
Licenciada en Matemáticas
Fuente: Escuela Brasil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/produto-interno-entre-dois-vetores.htm
