Cuando estudiamos poliedros, nos encontramos con el Sólidos de Platón como un caso particular. Para ser un sólido de Platón, el poliedro debe cumplir tres condiciones:
ser convexo
todas las caras tienen la misma cantidad de aristas;
todos los vértices son extremos del mismo número de aristas.
Varios filósofos intentaron comprender el origen del Universo, y Platón lo vio en geometría espacial la explicación de este origen. Los sólidos de Platón son:
tetraedro;
hexaedro;
octaedro;
dodecaedro;
icosaedro.
Todos ellos se consideran polígonos regulares, ya que su los bordes y sus caras son todos congruentes. Los sólidos de Platón respetan el Relación de Euler, que enumera el número de vértices, caras y aristas mediante la fórmula V + F = A + 2.
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poliedros regulares
La búsqueda de poliedros regulares es recurrente, ya que es más fácil trabajar con ellos. Un poliedro se clasifica como regular si tiene todas las caras formadas por el mismo polígono congruente
. Cuando esto ocurre, el anglos y los bordes también son congruentes.Los sólidos de Platón son casos particulares de poliedros regulares. El cubo, por ejemplo, que es un sólido de Platón, tiene todas sus caras formadas por cuadrados congruentes. De los cinco sólidos de Platón, tres están formados por caras triangulares con triángulos congruentes, uno está formado por caras cuadradas y el otro está formado por caras pentagonales.
¿Qué son los sólidos de Platón?
Platón fue un filósofo y matemático griego. Hizo grandes contribuciones a las matemáticas y, al tratar de comprender el Universo, sólidos asociados con elementos de la naturaleza.
Para ser un sólido platónico, el poliedro debe ser regular y convexo. Solo hay cinco sólidos que satisfacen esta definición. Ellos son: el tetraedro, el cubo o hexaedro, el octaedro, el icosaedro y el dodecaedro.
La relación que se estableció entre el elemento de la naturaleza y el sólido fue:
tetraedro - fuego
hexaedro - Tierra
octaedro - aire
icosaedro - Agua
dodecaedro - Cosmo o Universo
Para ser un sólido de Platón, O poliedro también necesita ser convexo, todas las caras deben tener el mismo número de aristas y todos los vértices deben ser extremos del mismo número de aristas.
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tetraedro regular
El tetraedro regular es un poliedro que tiene 4 caras, lo que justifica su nombre (tetra = cuatro). todas tus caras son formado por triángulos. Tiene forma de pirámide de base triangular y se conoce como pirámide de base regular, ya que todas sus caras son congruentes. Tiene un total de 4 caras (en formato de triángulo equilátero), 4 vértices y 6 aristas.
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Cubo regular o hexaedro
el hexaedro regular tiene 6 caras, que justifica su nombre (hex = seis). tus caras son todas cuadrado. También se le conoce como cubo y tiene 6 caras, 12 aristas y 8 vértices.
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Octaedro
Como los anteriores, el nombre está ligado al número de caras, de ahí el octaedro tiene 8 caras. Estas caras tienen forma de triángulo equilátero. El octaedro tiene 8 caras, 12 aristas y 6 vértices.
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icosaedro
El icosaedro tiene un total de 20 caras. Sus caras tienen forma de triángulos equiláteros, al igual que el octaedro. Tiene un total de 20 caras, 30 aristas y 12 vértices.
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Dodecaedro
El dodecaedro es el último de los sólidos de Platón. Tiene un total de 12 caras y se considera el más armónico entre los cinco sólidos platónicos. Sus caras tienen forma de pentágonos. Tiene 12 caras, 30 aristas y 20 vértices.
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Fórmula de Euler
Los poliedros eulerianos son poliedros convexos. Euler desarrolló una fórmula que relaciona el número de caras (F), el número de vértices (V) y el número de aristas (A) en un poliedro convexo. Todos los sólidos de Platón satisfacen la relación de Euler.
V + F = A + 2 |
Analizando la fórmula, entonces es posible calcular el número de vértices del número de caras y aristas, o el número de caras del número de vértices y aristas, en resumen, conociendo dos de sus elementos, siempre es posible encontrar el tercero.
Ejemplo:
Sabiendo que un poliedro tiene 8 vértices y 12 aristas y que es regular, ¿cuántas caras tiene?
Sabemos que V + F = A + 2
V = 8
A = 12
8 + F = 12 + 2
8 + F = 14
F = 14 - 8
F = 6
ejercicios resueltos
Pregunta 1 - (Enem 2016) Los sólidos de Platón son poliedros convexos cuyas caras son todas congruentes a un solo polígono regular, todos los vértices tienen el mismo número de aristas incidentes y cada arista es compartida por solo dos. caras. Son importantes, por ejemplo, en la clasificación de las formas de los cristales minerales y en el desarrollo de varios objetos. Como todos los poliedros convexos, los sólidos de Platón respetan la relación de Euler V - A + F = 2, donde V, A y F son el número de vértices, aristas y caras del poliedro, respectivamente.
En un cristal, cuya forma es la del poliedro de Platón de caras triangulares, ¿cuál es la relación entre el número de vértices y el número de caras?
A) 2V - 4F = 4
B) 2V - 2F = 4
C) 2V - F = 4
D) 2V + F = 4
E) 2V + 5F = 4
Resolución
Alternativa C. Dado que las caras son triangulares, sabemos que para cada cara hay 3 aristas. Sin embargo, para relacionar el número de aristas con el número de caras, es importante recordar que cada arista está contenida en dos caras, porque la reunión de dos caras forma un borde, por lo que podemos relacionar borde con cara en este caso por:
Teniendo la relación de Euler como V - A + F = 2 y sustituyendo A, tenemos que:
Pregunta 2 - De las alternativas siguientes, juzgue cuál no es un sólido de Platón.
Un cubo
B) Tetraedro regular
C) Icosaedro
D) Dodecaedro
E) Cono
Resolución:
Alternativa E. De las alternativas, la única que no corresponde a un sólido de Platón es la cono.
Por Raul Rodrigues de Oliveira
Profesor de matemáticas
Fuente: Escuela Brasil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/os-solidos-platao.htm