Tú paralelogramos son polígonos de geometria plana ampliamente explorado por ser figuras geométricas comunes en nuestra vida diaria. Definimos un paralelogramo como un polígono que tiene lados opuestos paralelos, una característica que se traduce en propiedades exclusivas.
Los casos particulares de paralelogramos son los cuadrados, rectángulos y diamantes. Para cada uno de estos polígonos, existen fórmulas específicas para calcular el área y el perímetro.
Lea también: Círculo y circunferencia: formas geométricas con muchas características
Elementos de un paralelogramo
Para ser un paralelogramo, el polígono debe tener lados opuestos paralelos. Como características específicas, tenemos que:
Cada paralelogramo se compone de cuatro lados, y los lados opuestos son paralelas.
Cada paralelogramo tiene cuatro ángulos internos, y el suma de estos ángulos siempre es igual a 360º.
Cada paralelogramo tiene dos diagonales.
Recuerda que los paralelogramos son casos particulares de cuadriláteros, por lo que hay características que se heredan de estas figuras geométricas, como la existencia de dos diagonales, cuatro lados y cuatro ángulos, así como la suma de los ángulos internos y externos es siempre igual a 360º.
Propiedades de un paralelogramo
1ra propiedad: Los lados opuestos de un paralelogramo son congruentes, es decir, tienen la misma medida.
2da propiedad: Los ángulos opuestos de un paralelogramo son congruentes y dos ángulos consecutivos son siempre suplementarios (la suma es igual a 180 °).
Sabiendo que AB y CD son paralelos, entonces los lados BC y AD son transversales a AB y CD; en consecuencia, el anglos formados (w y x) son suplementarios ya que son ángulos colaterales internos. Además, es posible demostrar que los ángulos xyz son congruentes.
- 3ra propiedad: Las diagonales de un paralelogramo se cortan por la mitad.
Cuando dibujamos las dos diagonales de un paralelogramo, su punto de encuentro divide cada una en sus puntos medios.
AM = CM
BM = DM
Vea también: Punto, línea, plano y espacio: conceptos básicos de geometría
Área de un paralelogramo
El área de un paralelogramo, en términos generales, se calcula por el producto de la base y la altura. Hay casos particulares (rectángulos, rombos y cuadrados) que tienen fórmulas específicas - se presentarán a lo largo de este texto - pero que surgen de la forma general.
A = b.h
b: base
h: altura
Perímetro de un paralelogramo
O perímetro es dado por suma de todos los lados. Como un paralelogramo generalmente tiene dos lados iguales, su perímetro se puede determinar mediante:
PAG = 2 (a + b)
Casos especiales de paralelogramos
Como sabemos, por definición, para ser un paralelogramo, el polígono debe tener lados paralelos. Hay tres cuadriláteros que se tratan como casos particulares del paralelogramo: el rectángulo, el diamante y el cuadrado.
Cuadrado
nosotros llamamos cuadrado un polígono de cuatro lados que tiene cuatro lados y cuatro ángulos congruentes; cada ángulo mide exactamente 90 grados. Dado que el cuadrado es un paralelogramo, todas las propiedades son válidas para el cuadrado.
El área de un cuadrado y su perímetro se calculan de manera similar a lo que se hace con un paralelogramo, pero como todos los lados del cuadrado son iguales, podemos representar el área y el perímetro del cuadrado así:
A = l²
P = 4,1
Rectángulo
O rectángulo es un paralelogramo que tiene todos los ángulos congruentes. Recibe este nombre porque todos tus ángulos son rectos, es decir, los cuatro ángulos miden 90º. El área del rectángulo es idéntica al área del paralelogramo, pero podemos tratar el lado vertical como la altura, después de todo, es perpendicular a la base.
A =a.b
P = 2 (a + b)
Diamante
O diamante es un paralelogramo que tiene todos sus lados congruentes. Tenga en cuenta que no hay restricción en los ángulos, pueden ser diferentes o no. A diferencia de los ejemplos anteriores, el el cálculo del área de un diamante se basa en sus diagonales. También existe una relación muy importante entre las diagonales del diamante y su lado.
D: diagonal más grande
d: diagonal menor
l: lado
Dado cualquier diamante, sabemos que las diagonales se cruzan en el punto medio, formando cuatro triángulos rectángulos. Analizando uno de estos triángulos, es posible ver un Relación pitagórica entre el lado y la mitad de cada una de las diagonales.
También acceda a: longitud de la circunferencia y área del círculo
Relación entre paralelogramos
Es importante comprender la definición del paralelogramo para que no haya complicaciones durante la clasificación. Siempre es bueno recordar que cada paralelogramo es un cuadrilátero, pero no todos los cuadriláteros son un paralelogramo.
También podemos afirmar que todo rectángulo, todo cuadrado y todo rombo son paralelogramos. Además, comparando los casos especiales de paralelogramos, podemos ver otra relación, porque el cuadrado tiene ángulos congruentes, que es la definición de rectángulo, y también lados congruentes, que es la definición de diamante. Como consecuencia, podemos decir que cada cuadrado es un rectángulo y también un diamante.
ejercicios resueltos
Pregunta 1 - Sabiendo que la siguiente figura es un paralelogramo, ¿cuál será el valor de x, y y z respectivamente?
a) 40,140 y 180
b) 30, 100 y 100
c) 25, 140 y 95
d) 30, 90 y 145
e) 45, 55 y 220
Resolución
1er paso: Usando la propiedad del paralelogramo, sabemos que los ángulos opuestos son iguales. Al analizar la imagen, es más conveniente utilizar esta propiedad en los ángulos de vértice B y D, ya que tienen la misma incógnita.
2do paso: Sabiendo que los ángulos consecutivos son suplementarios y que x = 25, es posible encontrar el valor de y.
3er paso: Dado que los ángulos de los vértices C y A son opuestos, son congruentes, por lo que podemos encontrar el valor de z.
Alternativa C.
Pregunta 2 - Calcula el área del paralelogramo (lados medidos en centímetros) a continuación.
a) 16 cm²
b) 32 cm²
c) 8 cm²
d) 64 cm²
e) 40 cm²
Resolución
Para encontrar el área del paralelogramo, primero es necesario encontrar el valor de h. Tenga en cuenta que el triángulo AEB es un rectángulo de hipotenusa igual a 5, por lo que podemos aplicar el teorema de Pitágoras para encontrar el valor de h.
Alternativa B.
Por Raul Rodrigues de Oliveira
Profesor de matemáticas
Fuente: Escuela Brasil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/paralelogramos.htm