O Plan Argand-Gauss se compone de dos ejes: uno vertical (conocido como eje imaginario) y otro horizontal (conocido como eje real). Es posible representar geométricamente números complejosque están en forma algebraica.
A través de esta representación geométrica, es posible Desarrollar algunos conceptos, como el módulo y el argumento. de un número complejo. Los números complejos se representan algebraicamente mediante z = a + bi, por lo que se representan mediante puntos (a, b), que se denomina afijo.
Lea también: Representación geométrica de la suma de números complejos
Representación geométrica de números complejos
El plano complejo, también conocido como plano de Argand-Gauss, no es más que unplano cartesiano para números complejos. En el plano de Argand-Gauss, es posible representar un número complejo como un punto, conocido como afijo. Con el desarrollo del plan complejo, existe la desarrollo de geometría analítica para números complejos, lo que permite desarrollar conceptos importantes como módulo y argumento.
Un número complejo representado en su forma algebraica es z = a + bi, en que La es la parte real y B es la parte imaginaria. Siendo así, los números complejos se representan como un punto (a, b). En el plano de Argand-Gauss, el eje horizontal es el eje de la parte real y el eje vertical es el eje de la parte imaginaria.
Afijo
O punto en el plano que representa un número complejo también se le llama afijo. Hay tres casos posibles de representación: afijos imaginarios, afijos reales y afijos imaginarios puros.
afijos imaginarios
Un afijo se conoce como imaginario cuando el número complejo tiene tanto un parte real y parte imaginaria distinta de cero. En este caso el afijo es un punto en cualquiera de los cuatro cuadrantes, dependiendo de los valores de a, by sus respectivos signos.
Ejemplo:
Ver la representación de números complejos z1 = 2 + 3i, z2 = -3 - 4i, z3 = -2 + 2i y z4= 1 - 4i.
Vea también: Propiedades que involucran números complejos
afijos imaginarios puros
Un número complejo se conoce como imaginario puro, cuando tu parte real es igual a cero, es decir, z = bi. Tenga en cuenta que en este caso la primera coordenada es siempre cero, así que trabajemos con puntos de tipo (0, b). Al marcar en el plano de Argand-Gauss, un afijo imaginario puro siempre será un punto perteneciente al eje imaginario, es decir, al eje vertical.
Ejemplo:
Ver la representación de números complejos z1 = 2i y z2= -3i.
afijos reales
Un número complejo se clasifica como Número Realcuando tu la parte imaginaria es igual a cero, es decir, z = a. En este caso, la segunda coordenada es siempre cero, por lo que trabajaremos con puntos de tipo (a, 0), por lo que la parte imaginaria es cero y los afijos están contenidos en el eje real del plano complejo.
Ejemplo:
Ver la representación de números complejos z1 = 2 y z2 = -4.
Módulo de números complejos
Al representar un número complejo, sea P (a, b) el afijo del número complejo z = a + bi. Conocemos el módulo del número complejo a distancia del punto P al origen. El módulo de un número complejo z está representado por | z |. Para encontrar el valor de | z |, usamos el Teorema de pitágoras.
| z | ² = a² + b²
También podemos representar por:
Ejemplo:
Encuentre el módulo del número complejo z = 12 -5i.
| z | ² = 12² + (-5) ²
| z | ² 144 + 25
| z | ² = 169
| z | = √169
| z | = 13
También acceda a: ¿Qué son los números racionales?
argumento de número complejo
Sabemos cómo argumento de un número complejo O ángulo θ formado por el vector OP y el eje real. El argumento de un número está representado por arg (z) = θ.
Para encontrar el ángulo, usamos el razones trigonométricas seno y coseno.
Para encontrar el valor del argumento, conociendo el seno y el coseno, simplemente consultar la tabla de valores para estas razones trigonométricas. Generalmente, en las preguntas del examen de ingreso a la universidad sobre este tema, el argumento es un ángulo notable.
Ejemplo:
Encuentre el argumento de número complejo z = 1 + i.
Primero calculemos el módulo de z.
| z | ² = 1² + 1²
| z | ² = 1 + 1
| z | ² = 2
| z | = √2
Sabiendo | z |, podemos calcular el seno y coseno del ángulo.
El ángulo que tiene seno y coseno con los valores encontrados es de 45º.
ejercicios resueltos
Pregunta 1 - ¿Cuál es el argumento del número complejo z = √3 + i?
A) 30
B) 45
C) 60
D) 90º
E) 120º
Resolución
Alternativa C.
Sabemos que a = √3 y b = 1, entonces:
Pregunta 2 - En el siguiente plan complejo, se han representado algunos números. Analizando el plano, podemos decir que los puntos son representaciones de números imaginarios puros:
A) M, N e I.
B) P y I.
C) L y G.
D) O, yo, G.
E) K, J y L.
Resolución
Alternativa B.
Para identificar un número imaginario puro en el plano complejo, es necesario que esté encima del eje vertical, que en este caso son los puntos P e I.
Por Raul Rodrigues de Oliveira
Profesor de matemáticas
Fuente: Escuela Brasil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/plano-argand-gauss.htm
